Matemaatika ja meie. Tõenäosusteooria põhivalemid

KASUTAMINE 2016. Matemaatika. Tõenäosusteooria. Töövihik.

M.: 2016. - 64 lk.

Sarja "KASUTAMINE 2016. Matemaatika" matemaatika töövihik on keskendunud gümnasistide ettevalmistamisele matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 2016. aastal alg- ja profiilitasemel. Töövihikus on USE-2016 kontrollmõõtematerjalide ühe positsiooni ülesanded. Õppimise erinevatel etappidel aitab käsiraamat pakkuda tasemel lähenemist kordamise korraldamisele, kontrollida ja kontrollida teadmisi teemal "Tõenäosusteooria". Töövihik on keskendunud ühele õppeaastale, kuid vajadusel täidab kiiresti lüngad lõpetaja teadmistes. Märkmik on mõeldud gümnaasiumiõpilastele, matemaatikaõpetajatele, lapsevanematele.

Vorming: pdf

Suurus: 3,1 MB

Vaata, lae alla:drive.google

SISU
3. seeria toimetajast
Sissejuhatus 4
Diagnostikatöö 16
Diagnostilise töö ülesannete lahendused 1 10
Treeningtöö 1 (ülesande D1.1 juurde) 22
Koolitustöö 2 (ülesannetele D1.2, D.1.4) 24
Treeningtöö 3 (ülesannetele D1.3, D1.5) 26
Treeningtöö 4 (ülesannetele D1.1-D1.5) 28
Koolitustöö 5 (ülesannete D1.6-D1.9 juurde) 30
Koolitustöö 6 (ülesannete D1.6-D1.9 juurde) 32
Koolitustöö 7 (ülesannete D1.6-D1.9 juurde) 34
Koolitustöö 8 (ülesannete D1.10-D1.14 juurde) 36
Koolitustöö 9 (ülesannete D1.10-D1.14 juurde) 39
Koolitustöö 10 (ülesannetele D1.10-D1.14) 41
Koolitustöö 11 (ülesannete D1.15-D.18 juurde) 43
Koolitustöö 12 (ülesannete D1.15-D.18 juurde) 45
Diagnostikatöö 2 47
Diagnostikatöö 3 51
Diagnostikatöö 4 54
Võrdlusmaterjalid 57
Vastused 58

See juhend on mõeldud ühtse riigieksami tõenäosusteooria ülesandeks (profiilitaseme ülesanne 4 ja ülesanne 10) ettevalmistamiseks algtase 2016. aasta väljaandes).
Käsiraamat koosneb diagnostilisest tööst D1 koos lahenduste analüüsiga, kümnest koolitustööst ja kolmest täiendavast diagnostikatööst D2-D4, mis on mõeldud vahekontrolliks. Kogumiku lõpus on vastused kõikidele probleemidele.
Kuna matemaatika KAS esimese osa ülesanded on moodustatud avatud panga abil, ei jää ka tõenäosusülesanded eksamil osalejatele üllatuseks.
Tõenäosusteooria on matemaatika üks olulisemaid rakendusharusid. Paljusid meid ümbritseva maailma nähtusi saab kirjeldada ainult tõenäosusteooria abil. Seda õpetatakse paljude riikide koolides ja Venemaal tagastati see kooli 2004. aasta standardi järgi ja on siiani jäänud uueks osaks.
Tõenäosusteooria ja statistika õppimisel on õpilastel ja õpetajatel endiselt raskusi sügavate õpetamistraditsioonide puudumise ja õppematerjalide vähesuse tõttu. Seetõttu hõlmab USE 2016. aastal tõenäosusteoorias vaid lihtsamaid probleeme.

Keraamiliste plaatide tehases on 5% toodetud plaatidest defektsed. Toote kvaliteedikontrolli käigus leitakse vaid 40% defektsetest plaatidest. Ülejäänud plaadid saadetakse müüki. Leia tõenäosus, et ostu käigus juhuslikult valitud plaadil ei ole defekte. Ümarda oma vastus lähima sajandikuni.

Lahendus

Toote kvaliteedikontrolli käigus avastatakse 40% defektsetest plaatidest, mis moodustavad 5% toodetud plaatidest ning neid ei panda müüki. See tähendab, et 0,4 5% = 2% toodetud plaatidest ei jõua müüki. Ülejäänud toodetud plaadid - 100% - 2% = 98% läheb müüki.

Defektideta 100% - 95% toodetud plaatidest. Tõenäosus, et ostetud plaadil pole defekte, on 95% : 98% = \frac(95)(98)\umbes 0,97

Vastus

Seisund

Tõenäosus, et aku pole laetud, on 0,15. Klient ostab poest juhusliku paki, mis sisaldab kahte sellist patareid. Leidke tõenäosus, et mõlemad selles pakendis olevad akud on laetud.

Lahendus

Aku laetuse tõenäosus on 1-0,15 = 0,85. Leiame sündmuse "mõlemad akud on laetud" tõenäosuse. Tähistage A ja B sündmusi "esimene aku on laetud" ja "teine ​​aku on laetud". Saime P(A) = P(B) = 0,85. Sündmus "mõlemad akud on laetud" on sündmuste A \ cap B ristumiskoht, selle tõenäosus on võrdne P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Vastus

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Tõenäosus, et uus pesumasin saab aasta jooksul remonditud, on 0,065. Teatud linnas müüdi aasta jooksul 1200 pesumasinat, millest 72 tükki viidi garantiitöökotta. Tehke kindlaks, kui erinev on "garantiiremondi" sündmuse toimumise suhteline sagedus selle tõenäosusest selles linnas?

Lahendus

Sündmuse “pesumasin läheb aasta jooksul garantiiremonti” sagedus on võrdne \frac(72)(1200) = 0,06. See erineb tõenäosusest 0,065-0,06=0,005 võrra.

Vastus

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Tõenäosus, et pliiats on defektne, on 0,05. Klient ostab poest juhusliku paki, mis sisaldab kahte pastakat. Leidke tõenäosus, et mõlemad selle pakendi pliiatsid on head.

Lahendus

Tõenäosus, et pliiats on heas korras, on 1-0,05 = 0,95. Leiame sündmuse "mõlemad käepidemed töötavad" tõenäosuse. Tähistage A ja B sündmusi "esimene käepide töötab" ja "teine ​​käepide töötab". Saime P(A) = P(B) = 0,95. Sündmus “mõlemad käepidemed on head” on sündmuste A \ cap B ristumiskoht, selle tõenäosus on võrdne P(A\kork B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Vastus

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Pildil on labürint. Mardikas roomab "Sissepääsu" punktis labürinti. Mardikas ei saa ümber pöörata ja vastupidises suunas roomata, nii et iga hargnemise juures valib ta ühe tee, millel ta pole veel käinud. Kui suur on tõenäosus, et mardikas tuleb D-st väljuma, kui valik edasine tee on juhuslik.

Lahendus

Asetame ristmikule nooled mardika liikumise suundadesse (vt joonis).

Valime igal ristmikul kahest võimalikust ühe suuna ja eeldame, et ristmikule jõudes liigub mardikas meie poolt valitud suunas.

Selleks, et mardikas jõuaks D-väljapääsuni, tuleb igal ristmikul valida pideva punase joonega näidatud suund. Kokku tehakse suunavalik 4 korda, iga kord sõltumata eelmisest valikust. Tõenäosus, et iga kord valitakse pidev punane nool, on \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Vastus

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Sektsioonis on 16 sportlast, nende hulgas kaks sõpra - Olya ja Masha. Sportlased jagatakse juhuslikult 4 võrdsesse rühma. Leidke tõenäosus, et Olya ja Maša on samas rühmas.

juhuslik sündmus Igasugune sündmus, mis võib või ei pruugi toimuda mõne kogemuse tulemusena.

Sündmuse tõenäosus R on võrdne soodsate tulemuste arvu suhtega k kõigi võimalike tulemuste hulgas. n, st.

p=\frac(k)(n)

Tõenäosusteooria liitmise ja korrutamise valemid

\bar(A) sündmus helistas vastupidine sündmusele A, kui sündmust A ei toimunud.

Tõenäosuste summa vastandlikud sündmused võrdub ühega, s.t.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Sündmuse tõenäosus ei saa olla suurem kui 1.
• Kui sündmuse tõenäosus on 0, siis seda ei juhtu.
• Kui sündmuse tõenäosus on 1, siis see juhtub.

Tõenäosuste liitmise teoreem:

"Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Tõenäosus summad kaks ühisüritust võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, võtmata arvesse nende ühist esinemist:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Tõenäosuse korrutamise teoreem

"Kahe sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse korrutisega teise tingimusliku tõenäosusega, mis arvutatakse tingimusel, et esimene juhtus."

P(AB)=P(A)*P(B)

Sündmused helistas Sobimatu, kui neist ühe välimus välistab teiste ilmumise. See tähendab, et toimuda võib ainult üks konkreetne sündmus või teine.

Sündmused helistas liigend, kui neist ühe esinemine ei välista teise esinemist.

Kaks juhuslikku sündmust A ja B kutsutakse sõltumatu, kui neist ühe esinemine ei muuda teise esinemise tõenäosust. Vastasel juhul nimetatakse sündmusi A ja B sõltuvaks.