Puterile se anulează atunci când sunt înmulțite? Înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri

I. Produsul puterilor cu aceleași baze.

Produsul a două puteri cu aceleași baze poate fi întotdeauna reprezentat ca o putere cu baza x.

Prin definiție, puterea x 7 este produsul a șapte factori, fiecare dintre care este egal cu x, iar x 9 este produsul a nouă dintre aceiași factori. Prin urmare, x 7 x 9 este egal cu produsul a 7 + 9 factori. Fiecare dintre ele este egal cu x, adică

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Se dovedește că dacă baza gradului a este un număr arbitrar, iar m și n sunt numere naturale, atunci egalitatea este adevărată:

a m · a n = a m + n

Această egalitate exprimă una dintre proprietățile gradului.

Produsul a două puteri cu aceeași bază este egal cu o putere cu aceeași bază și un exponent egal cu suma exponenților acestor puteri.

Această proprietate apare și în cazurile în care numărul de factori este mai mare de doi.

De exemplu, în cazul a trei factori avem:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

La efectuarea transformărilor, este convenabil să folosiți regula: la înmulțirea puterilor cu aceleași baze, bazele rămân aceleași, iar exponenții sunt adăugați.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Exemplul 2.

a 7 a -8 = a -1

Exemplul 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7+(- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Parțiale de grade cu aceleași baze.

Coeficientul a două puteri cu aceiași exponenți poate fi întotdeauna reprezentat ca o putere cu aceeași bază.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1. Coeficientul x 17: x 5 poate fi reprezentat ca o putere cu o bază x:

x 17: x 5 = x 12,

întrucât prin definiția coeficientului și pe baza proprietății gradului x 5 · x 12 = x 17. Exponentul coeficientului (numărul 12) este egal cu diferența dintre exponenții dividendului și divizorul (17 – 5):

x 17: x 5 = x 17-5

Exemplul 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Exemplul 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Exemplul 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Exemplul 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

La efectuarea transformărilor, este convenabil să folosiți regula: la împărțirea puterilor cu aceleași baze, bazele rămân aceleași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Exemplul 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Valoarea expresiei a 0 pentru orice a ≠ 0 este egală cu 1.

III. Ridicarea unui grad la un grad.

Fie a șaptea putere a expresiei a 2 să fie reprezentată ca o putere cu baza a.

Prin definiție, puterea (a 2) 7 este produsul a șapte factori, fiecare dintre care este egal cu a 2, adică

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Aplicând proprietatea puterii, obținem:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2·7 .

Se pare că (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți:

(a m) n = a mn .

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Exemplul 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol vom vorbi despre conversia expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi deschiderea parantezelor și aducerea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile puterii?

Termenul „expresii de putere” practic nu apare în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecții de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin puteri în intrările lor. Prin urmare, puteți accepta următoarea definiție pentru dvs.:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin grade.

Să dăm exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care are loc dezvoltarea vederilor de la un grad cu exponent natural la un grad cu un exponent real.

După cum se știe, mai întâi se familiarizează cu puterea unui număr cu exponent natural; în acest stadiu, primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 apar −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

În liceu se întorc la grade. Acolo este introdus un grad cu exponent rațional, care presupune apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , și așa mai departe. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și, de exemplu, apar următoarele expresii: 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu , încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2·lgx −5·x lgx.

Deci, ne-am ocupat de întrebarea ce reprezintă expresiile puterii. În continuare vom învăța să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari etc. Desigur, în acest caz, este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

În conformitate cu ordinea de execuție a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea 4 2 cu valoarea sa 16 (dacă este necesar, vezi), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4. Avem 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

În expresia rezultată, înlocuim puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8·4=32. Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Răspuns:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplu.

Simplificați expresiile cu puteri 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3·a 4 ·b −7 și 2·a 4 ·b −7 , și îi putem prezenta: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Puteți face față sarcinii reprezentând numărul 9 ca o putere a lui 3 2 și apoi folosind formula de înmulțire abreviată - diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente în mod specific expresiilor de putere. Le vom analiza mai departe.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm intrările (2+0.3·7) 5−3.7 și (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală în ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, după regulile cunoscute de noi, putem transforma separat baza gradului și separat exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie identică cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2+0.3 7) 5−3.7, puteți efectua operații cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să treceți la puterea 4.1 1.3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari la baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+). 1) .

Utilizarea proprietăților gradului

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți ale puterilor sunt adevărate:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru negativ a și pentru a=0.

La școală, accentul principal atunci când transformați expresiile puterii este pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite ca proprietățile gradelor să fie utilizate fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele puterilor - intervalul de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile puterilor . În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să utilizați vreo proprietate de grade în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a valorii educaționale și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile grade. Aici ne vom limita la a lua în considerare câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a.

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 folosind proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Expresia originală a puterii va lua forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Proprietățile puterilor la transformarea expresiilor de putere sunt folosite atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r, aplicată de la dreapta la stânga, ne permite să trecem de la expresia originală la un produs al formei și mai departe. Și atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze, exponenții se adună: .

A fost posibil să se transforme expresia originală într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere expresia puterii a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți o nouă variabilă t=a 0,5.

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și apoi, pe baza proprietății gradului la gradul (a r) s =a r s, aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3. Prin urmare, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t=a 0,5, obținem t 3 −t−6.

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține sau reprezenta fracții cu puteri. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi reduse, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra aceste cuvinte, luați în considerare soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Simplificați exprimarea puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător deschidem parantezele și simplificăm expresia rezultată folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și să schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Când efectuați această acțiune, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a VA. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama care multiplicator suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator de 0,3, deoarece a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), puterea lui 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul unui anumit număr. fracție de acest factor suplimentar:

b) Aruncând o privire mai atentă la numitor, veți găsi că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit un factor suplimentar. În intervalul de valori admisibile ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin puteri: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, este evident posibil să se efectueze o reducere cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, factori identici la numărător și numitor nu sunt imediat vizibili. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului folosind formula diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt folosite în principal pentru a face lucruri cu fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea se reduc la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, dar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul acesteia.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , după care scădem numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, se poate reduce cu o putere de x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui X. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și să mai adăugăm că este posibil, și în multe cazuri de dorit, să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, rădăcinile cu exponenți fracționari sunt prezente și ele alături de puteri. Pentru a transforma o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergem doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, din moment ce este mai convenabil să lucrezi cu puteri, de obicei se mută de la rădăcini la puteri. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articolul trecerea de la rădăcini la puteri și înapoi După ce ne-am familiarizat cu gradul cu exponent rațional este introdus un grad cu exponent irațional, ceea ce ne permite să vorbim despre un grad cu un exponent real arbitrar În această etapă, școala începe să studiu functie exponentiala, care este dată analitic de o putere, a cărei bază este un număr, iar exponentul este o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza puterii, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeȘi inegalități exponențiale, iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează, în cea mai mare parte, introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, puterile, în exponenții cărora este suma unei anumite variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x, care pe ODZ a variabilei x pentru ecuația originală ia doar valori pozitive (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum putem anula fracții cu puteri, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri de relații, rezultând ecuația , care este echivalent . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția unei ecuații pătratice

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

(abc… ) n = un n· b n · c n…

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b ) n = un n / b n .

5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

(a m ) n = a m n .

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul mijloace rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinile acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în m ridica la m a-a putere este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reducem gradul rădăcinii în m extrageți rădăcina o dată și în același timp m puterea unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu este se va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; ci actiuni cu grade și rădăcini pot duce și la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui număr c un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit printr-o putere de același număr cu un exponent egal cu valoarea absolutăindicator negativ:

T acum formula a m: un n= a m - n poate fi folosit nu numai pentrum, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4 :A 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Dacă vrem formulaa m : un n= a m - na fost corect cândm = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real iar la puterea m/n , trebuie să extrageți rădăcina a n-a putere a lui m -a-a putere a acestui număr A :

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii. orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · X. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

Cazul 3.

0 0 - orice număr.

Într-adevăr,

Soluție. Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

(De ce?).

2) când X> 0 obținem: x/x = 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce X- orice număr; dar ținând cont că în

În cazul nostru X> 0, răspunsul esteX > 0 ;

3) când X < 0 получаем: – x/x= 1, adică de ex . –1 = 1, prin urmare,

În acest caz nu există soluție.

Prin urmare, X > 0.

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceleași baze;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul general poate fi scos din paranteze:

Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.

Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie reținut că nu trebuie să scrieți semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea se face mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:

www.algebraclass.ru

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor

Adunarea și scăderea puterilor

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu Cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este un -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

Proprietăți ale gradului

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Calculati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere

La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n · b n)= (a · b) n

Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, poți înmulți bazele, dar lasă exponentul neschimbat.

În exemple mai complexe, pot exista cazuri în care înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n - orice număr natural.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Puteri și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la puterea mth, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și extrageți simultan rădăcina a m-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

De fapt, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · X. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

0 0 — orice număr.

Soluție. Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce X- orice număr; dar ținând cont că în

în cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze

Teorema 1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică

Dovada. Prin definiția gradului

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ne-am uitat la produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.

Teorema 2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, când indicele dividendului este mai mare decât indicele divizorului, este suficient să scădem indicele divizorului din indicele dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > p

(A =/= 0)

Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu divizorul, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula unde A =/= 0, este același lucru cu demonstrarea formulei

Dacă t > p , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1

Teorema 2 este demonstrată.

Trebuie remarcat faptul că formula

am dovedit-o numai în ipoteza că t > p . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:

În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .

Teorema 3. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza gradului aceeași, acesta este

Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:

Q.E.D.

De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral) Determinați X din ecuatii:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Setul nr.) Simplificați:

520. (Setul nr.) Simplificați:

521. Prezentați aceste expresii sub formă de grade cu aceleași baze:

1) 32 și 64; 3) 8 5 și 16 3; 5) 4 100 și 32 50;

2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.

După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

1. proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n, generalizarea acestuia;
2. proprietatea puterilor câte cu baze identice a m:a n =a m−n ;
3. proprietatea puterii produsului (a·b) n =a n ·b n , extensia sa;
4. proprietatea coeficientului la gradul natural (a:b) n =a n:b n ;
5. ridicarea unui grad la o putere (a m) n =a m·n, generalizarea lui (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. compararea gradului cu zero:
   • dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
   • dacă a=0, atunci a n =0;
   • în cazul în care o<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. dacă a și b sunt numere pozitive și a
8. dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci la 0 0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m ·a n poate fi scris ca produs. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiație, avem 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32și 2 5 =2·2·2·2·2=32, deoarece se obțin valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corectă și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci, pentru orice număr k de numere naturale n 1, n 2, …, n k următoarea egalitate este adevărată: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a prezenta dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n ) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m

Dovada. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să scriem egalitatea a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și rezultă că a m−n este un coeficient al puterilor a m și a n . Aceasta dovedește proprietatea puterilor coeficiente cu baze identice.

Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.

Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural avem . Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca , care este egal cu a n · b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .

Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient in natura: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Asa de (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul a n împărțit la b n .

Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: .

Acum, hai să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.

De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea luată în considerare poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, iată un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.

Să trecem la bazele negative ale gradului.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi . Pentru fiecare dintre produsele de forma a·a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv și gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Să trecem la proprietatea de a compara puteri cu aceiași exponenți naturali, care are următoarea formulare: a două puteri cu aceiași exponenți naturali, n este mai mic decât cea a cărei bază este mai mică și mai mare este cea a cărei bază este mai mare. . Să demonstrăm.

Inegalitatea a n proprietățile inegalităților o inegalitate demonstrabilă de forma a n este de asemenea adevărată (2.2) 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0 0 datorită condiției inițiale m>n, ceea ce înseamnă că la 0

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.

Proprietățile puterilor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a b−n ;
7. dacă m și n sunt numere întregi și m>n , atunci la 0 1 inegalitatea a m >a n este valabilă.

Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificilă; pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea putere-la-putere este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) și (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hai să o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.

Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci . Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.

De asemenea .

ȘI .

Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a -n >b -n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ -n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Deoarece prin condiția a 0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca o proprietate similară a puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Și anume:

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să oferim dovezi.

Prin definiția unei puteri cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar:

Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare:

Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condiții p<0 и p>0 în acest caz condiţiile m<0 и m>0 în consecință. Pentru m>0 și a

În mod similar, pentru m<0 имеем a m >b m , de unde, adică, și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiţia p>q va corespunde condiţiei m 1 >m 2, care rezultă din. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali la 0 1 – inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca Și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).