Teorema tensiunii lui Gauss. §5 Teorema lui Gauss

Această teoremă este doar o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii câmpurilor electrice. Iată formularea acestuia:

Fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă în vid este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice conținute în această suprafață, împărțită la constanta electrică.  0 .

Începem demonstrarea teoremei cu cel mai simplu caz: calculăm fluxul vectorului intensității câmpului unei sarcini punctiforme. Q.

Puterea acestui câmp este bine cunoscută (vezi 1.3)

Ținând cont de simetria sferică a câmpului, alegem mai întâi o sferă cu rază r, cu centrul în punctul în care se află încărcarea Q(Fig. 2.5., 1). Fluxul vectorului de tensiune prin această suprafață este ușor de calculat

Aici am ținut cont de faptul că:

Orez. 2.5.

Ținând cont de ultima remarcă, scriem fluxul (2.7) sub următoarea formă:

(2.8)

Astfel, pentru primul caz simplu, teorema lui Gauss s-a dovedit a fi adevărată. Ce rezultă din asta?

Rezultatul obținut ne permite să concluzionăm că debitul găsit nu depinde de raza suprafeței gaussiene. Acest lucru este ușor de înțeles: la urma urmei, odată cu creșterea distanței de la încărcare Q suprafață creştereproporţional raza pătrată și puterea câmpului scadeinvers raza pătrată.

Să ne amintim, în plus, că fluxul vectorului de intensitate este egal cu numărul de linii de câmp care pătrund pe suprafața Gauss. Independența curgerii față de raza suprafeței înseamnă că liniile de câmp ale unei sarcini punctiforme, începând cu o sarcină pozitivă, se extind mai departe până la infinit fără întrerupere. De aici concluziile ulterioare.

Fluxul vectorului intensității câmpului unei sarcini punctiforme prin orice suprafață închisă (Fig. 2.5, 2), acoperind o taxă punctualăQ, este egal cu raportul

Această concluzie este fără îndoială, deoarece fluxul este egal cu numărul constant anterior de linii de forță care străpunge suprafața închisă.

Curgerea vectorului de tensiune printr-o suprafață închisă arbitrară care nu acoperă o sarcină electrică este egală cu zero (Fig. 2.5, 3).

Această concluzie este, de asemenea, ușor de înțeles, deoarece numărul de linii de câmp care curg într-o suprafață gaussiană este egal cu numărul de linii care părăsesc aceasta. Prin urmare, fluxul total prin această suprafață este zero.

Acum ne putem întoarce la considerarea cazului general: fie o suprafață închisă arbitrară S acoperă N sarcinile punctuale (Fig. 2.6.). Să calculăm fluxul vectorului intensității câmpului total prin această suprafață S, ținând cont că, în conformitate cu principiul suprapunerii, câmpul rezultat este egal cu suma vectorială a câmpurilor individuale.

Orez. 2.6.

Deci, folosind definiția fluxului, îl calculăm printr-o suprafață închisă arbitrară S.

(2.9)

Rezultatul obținut este o dovadă a validității teoremei lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este proporțional cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe..

Produsul dintre intensitatea câmpului electric E și o astfel de zonă plană S, în toate punctele cărora intensitatea câmpului este aceeași și perpendicular pe acesta, este fluxul N al vectorului de tensiune prin platforma S;

N=ES(6)

Dacă vectorul de tensiune nu este perpendicular pe locul, atunci este necesar să se determine componenta vectorului de tensiune perpendicular pe locul, care se numește componentă normală (Fig. 1):

N = E n S = (E*cosβ)S

Atunci când se calculează fluxul printr-o suprafață arbitrară a ariei S într-un câmp neomogen, această suprafață trebuie împărțită în elemente plate mici dS în cadrul fiecăruia dintre care intensitatea câmpului poate fi considerată aceeași; curge printr-o platformă elementară separată

dN = E n dS

Curgerea vectorului de tensiune printr-o suprafață închisă arbitrară se găsește prin însumarea (integrarea) fluxurilor elementare:

Găsim unitatea de măsură a fluxului vectorial de tensiune din formula (6):

[N] = = V/m * m 2 = V * m (8)

Fig.1 Componenta normală a vectorului intensității câmpului electric, Fig.2 sarcină electrică în interiorul unei suprafețe sferice

Ca exemplu, să găsim fluxul vectorului intensității câmpului al unei sarcini punctiforme Q plasat în centrul unei suprafețe sferice (sferice) cu raza R (Fig. 2).
Intensitatea câmpului de sarcină Q este aceeași în toate punctele acestei suprafețe și conform ()

Deoarece vectorii de tensiune sunt perpendiculari pe suprafața sferică, atunci E n = E și fluxul vectorului intensității câmpului care trece prin suprafață

După cum se poate observa din (9), expresia fluxului obținută pentru cazul special al unei suprafețe sferice nu depinde nici de forma suprafeței, nici de locația sarcinii în interiorul acesteia. Prin urmare, formula (9) este valabilă pentru o suprafață închisă de orice formă și sarcini situate arbitrar în interiorul acesteia, a căror valoare totală este egală cu Q.

Deci, fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu raportul dintre sumele sarcinilor situate în interiorul acestei suprafețe și constanta dielectrică absolută a mediului. Relația rezultată se numește teorema lui Gauss.

Fluxul este reprezentat vizual prin linii electrice, astfel încât vectorul intensității câmpului în orice punct este tangent la linia electrică trasă prin
acest punct. Liniile de câmp electric ale sarcinilor staționare încep pe sarcini pozitive și se termină pe cele negative. Numărul de linii care traversează o zonă dată este ales proporțional cu valoarea debitului N prin această zonă. Sunt prezentate liniile electrice ale unei sarcini punctiforme + Q 1.

Câmpul electric al sarcinilor staționare se numește electrostatic.

Într-un număr de cazuri, teorema lui Gauss face posibilă găsirea intensității câmpului electric al corpurilor încărcate extinse fără a recurge la calcularea integralelor greoaie. Acest lucru se aplică de obicei corpurilor a căror formă geometrică are anumite elemente de simetrie (bilă, cilindru, plan). Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a teoremei lui Gauss pentru a calcula puterea câmpurilor electrice.

Exemplul 1. Câmpul unui plan încărcat uniform.

Câmpul electric creat de un plan încărcat uniform extins la infinit este uniform - în fiecare punct al spațiului din afara planului, intensitatea sa este aceeași peste tot. Acest câmp este îndreptat perpendicular pe plan în ambele direcții (Fig. 2.5). Așadar, pentru curgerea vectorului intensității câmpului printr-o suprafață cilindrică aleasă arbitrar care se sprijină pe un element din planul ΔS, putem scrie: , de unde , unde este densitatea sarcinii de suprafață. Dimensiunea în SI: .

Astfel, intensitatea câmpului electric dorită plan încărcat uniform .

Exemplul 2. Câmp al unui filet (cilindru) încărcat uniform.

În acest caz, câmpul electric are simetrie axială - nu depinde de unghiul azimutal φ și de coordonata z și este direcționat de-a lungul vectorului rază (Fig. 2.6). Prin urmare, pentru fluxul vectorial printr-o suprafață cilindrică selectată cu o axă care coincide cu firul încărcat, avem: , unde este un element al unei suprafețe cilindrice; l– lungimea unei secțiuni arbitrare a firului.

Pe de altă parte, conform teoremei lui Gauss, acest flux este egal cu: unde , este densitatea de sarcină liniară a firului. De aici găsim: .

Intensitatea câmpului electric necesară fir încărcat uniform : .

Exemplul 3. Câmp al unei mingi încărcate uniform.

A) Minge de metal. În echilibru, sarcinile sunt distribuite uniform pe suprafața exterioară a bilei încărcate (Fig. 2.7). Prin urmare, când< (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

În afara bilei (>), câmpul electric creat de sarcinile distribuite uniform pe suprafața sa are simetrie sferică (direcționată de-a lungul liniilor radiale), prin urmare, conform teoremei lui Gauss:

.

Vedem că câmpul electric al unei bile de metal încărcate uniform nu depinde de raza bilei și coincide cu câmpul taxă punctuală .

b) Bilă dielectrică .

Dimensiunea densității de sarcină volumetrică în SI: .

Încărcarea totală a mingii este evident: .

După teorema lui Gauss avem:

1) În interiorul mingii(r< R) : , unde Δq = este sarcina regiunii interne a bilei, limitată de suprafața sferică selectată de rază r. De aici găsim: .

2) În afara mingii (r > R): , de unde = ,

acesta este in afara câmp electric cu bila dielectrică încărcată aceeași , ca în cazul metal minge.

Figura 2.9 prezintă evoluția calitativă a dependențelor E(r) pentru bile metalice si dielectrice.

metal Fig.2.9. Dependenta E(r). dielectric

1.4 Teorema lui Gauss. Vector de inducție electrică.

teorema lui Gauss.

Calcularea intensității câmpului unui sistem de sarcini electrice folosind principiul suprapunerii câmpurilor electrostatice poate fi simplificată semnificativ folosind teorema lui Gauss, care determină fluxul vectorului intensității câmpului electric. printr-o suprafață închisă arbitrară.

Luați în considerare fluxul vectorului de tensiune printr-o suprafață sferică de rază r, acoperind o taxă punctuală q, situat în centrul său

Acest rezultat este adevărat pentru orice suprafață închisă de formă arbitrară, acoperind taxa.

Dacă suprafața închisă nu acoperă încărcarea, atunci debitul prin el este zero, deoarece numărul de linii de tensiune care intră pe suprafață este egal cu numărul de linii de tensiune care ies din ea.

Sa luam in considerare caz general arbitrar suprafata inconjuratoare n taxe.Conform principiului suprapunerii, intensitatea câmpului creat de toate sarcinile este egală cu suma intensităților create de fiecare sarcină separat. De aceea

Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid:vectorul de flux al intensității câmpului electrostatic în vid printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu algebric suma sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe împărțită la ε 0 .

În general, sarcinile electrice pot fi distribuite cu o anumită densitate de volum, diferită în diferite locuri din spațiu. Atunci sarcina totală a volumului V acoperit de suprafața închisă S este egală cu iar teorema lui Gauss ar trebui scrisă sub forma .

Legea interacțiunii sarcinilor electrice - legea lui Coulomb - poate fi formulată diferit, sub forma așa-numitei teoreme Gauss. Teorema lui Gauss este obținută ca o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii. Dovada se bazează pe proporționalitatea inversă a forței de interacțiune dintre două sarcini punctuale cu pătratul distanței dintre ele. Prin urmare, teorema lui Gauss este aplicabilă oricărui câmp fizic în care legea inversului pătratului și principiul suprapunerii se aplică, de exemplu, câmpului gravitațional.

Orez. 9. Liniile intensității câmpului electric ale unei sarcini punctiforme care intersectează o suprafață închisă X

Pentru a formula teorema lui Gauss, să revenim la imaginea liniilor câmpului electric ale unei sarcini punctiforme staționare. Liniile de câmp ale unei sarcini punctiforme solitare sunt linii drepte radiale situate simetric (Fig. 7). Puteți desena orice număr de astfel de linii. Să notăm numărul lor total prin Atunci densitatea liniilor de câmp la o distanță de sarcină, adică numărul de linii care traversează o unitate de suprafață a unei sfere de rază este egal cu Compararea acestei relații cu expresia pentru intensitatea câmpului unui sarcină punctiformă (4), vedem că densitatea liniilor este proporțională cu intensitatea câmpului. Putem face aceste cantități egale numeric prin alegerea corectă a numărului total de linii de câmp N:

Astfel, suprafața unei sfere de orice rază care cuprinde o sarcină punctiformă intersectează același număr de linii de forță. Aceasta înseamnă că liniile de forță sunt continue: în intervalul dintre oricare două sfere concentrice de raze diferite, niciuna dintre linii nu este întreruptă și nu se adaugă altele noi. Deoarece liniile de câmp sunt continue, același număr de linii de câmp intersectează orice suprafață închisă (Fig. 9) care acoperă sarcina

Liniile de forță au o direcție. În cazul unei sarcini pozitive, acestea ies de pe suprafața închisă care înconjoară sarcina, așa cum se arată în Fig. 9. În cazul unei sarcini negative, acestea intră în interiorul suprafeței. Dacă numărul de linii de ieșire este considerat pozitiv și numărul de linii de intrare negativ, atunci în formula (8) putem omite semnul modulului sarcinii și îl putem scrie sub forma

Flux de tensiune. Să introducem acum conceptul de flux vectorial al intensității câmpului printr-o suprafață. Un câmp arbitrar poate fi împărțit mental în zone mici în care intensitatea se schimbă în mărime și direcție atât de puțin încât în ​​această zonă câmpul poate fi considerat uniform. În fiecare astfel de zonă, liniile de forță sunt drepte paralele și au o densitate constantă.

Orez. 10. Să se determine fluxul vectorului intensității câmpului prin amplasament

Să luăm în considerare câte linii de forță pătrund într-o zonă mică, direcția normalei la care formează un unghi a cu direcția liniilor de tensiune (Fig. 10). Fie o proiecție pe un plan perpendicular pe liniile de forță. Deoarece numărul de linii care se încrucișează este același, iar densitatea liniilor, în conformitate cu condiția acceptată, este egală cu modulul intensității câmpului E, atunci

Valoarea a este proiecția vectorului E pe direcția normalei la loc

Prin urmare, numărul de linii electrice care traversează zona este egal cu

Produsul se numește fluxul intensității câmpului prin suprafață.Formula (10) arată că fluxul vectorului E prin suprafață este egal cu numărul de linii de câmp care traversează această suprafață. Rețineți că fluxul vectorial de intensitate, ca și numărul de linii de câmp care trec prin suprafață, este un scalar.

Orez. 11. Curgerea vectorului de tensiune E prin amplasament

Dependența fluxului de orientarea locului în raport cu liniile de forță este ilustrată în Fig.

Fluxul intensității câmpului printr-o suprafață arbitrară este suma fluxurilor prin zonele elementare în care această suprafață poate fi împărțită. În virtutea relațiilor (9) și (10), se poate afirma că fluxul intensității câmpului unei sarcini punctiforme prin orice suprafață închisă 2 care învelește sarcina (vezi Fig. 9), ca număr de linii de câmp care ies din această suprafață este egală cu. În acest caz, vectorul normal la suprafața închisă a zonelor elementare ar trebui să fie îndreptat spre exterior. Dacă sarcina din interiorul suprafeței este negativă, atunci liniile de câmp intră în interiorul acestei suprafețe și fluxul vectorului intensității câmpului asociat cu sarcina este, de asemenea, negativ.

Dacă există mai multe sarcini în interiorul unei suprafețe închise, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxurile intensităților câmpului lor se vor aduna. Fluxul total va fi egal cu unde ar trebui să fie înțeles ca suma algebrică a tuturor sarcinilor situate în interiorul suprafeței.

Dacă nu există sarcini electrice în interiorul unei suprafețe închise sau suma lor algebrică este zero, atunci fluxul total al intensității câmpului prin această suprafață este zero: câte linii de forță intră în volumul delimitat de suprafață, același număr iese.

Acum putem formula în sfârșit teorema lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electric E în vid prin orice suprafață închisă este proporțional cu sarcina totală situată în interiorul acestei suprafețe. Matematic, teorema lui Gauss este exprimată prin aceeași formulă (9), unde prin se înțelege suma algebrică a sarcinilor. În electrostatic absolut

în sistemul de unități SGSE, coeficientul și teorema lui Gauss sunt scrise sub forma

În SI și fluxul de tensiune printr-o suprafață închisă este exprimat prin formula

Teorema lui Gauss este utilizată pe scară largă în electrostatică. În unele cazuri, poate fi folosit pentru a calcula cu ușurință câmpurile create de taxe situate simetric.

Câmpuri de surse simetrice. Să aplicăm teorema lui Gauss pentru a calcula intensitatea câmpului electric încărcat uniform pe suprafața unei bile cu rază. Pentru certitudine, vom presupune că sarcina sa este pozitivă. Distribuția sarcinilor care creează câmpul are simetrie sferică. Prin urmare, câmpul are și el aceeași simetrie. Liniile de forță ale unui astfel de câmp sunt direcționate de-a lungul razelor, iar modulul de intensitate este același în toate punctele echidistante de centrul mingii.

Pentru a găsi intensitatea câmpului la o distanță de centrul mingii, să desenăm mental o suprafață sferică cu raza concentrică cu mingea, deoarece în toate punctele acestei sfere intensitatea câmpului este direcționată perpendicular pe suprafața sa și este la fel ca valoare absolută, fluxul de intensitate este pur și simplu egal cu produsul dintre intensitatea câmpului și suprafața sferei:

Dar această mărime poate fi exprimată și folosind teorema lui Gauss. Dacă suntem interesați de terenul din afara mingii, adică atunci, de exemplu, în SI și, comparând cu (13), găsim

În sistemul unităților SGSE, evident,

Astfel, în afara mingii puterea câmpului este aceeași cu cea a unei încărcături punctiforme plasate în centrul mingii. Dacă suntem interesați de câmpul din interiorul mingii, adică, deoarece întreaga sarcină distribuită pe suprafața mingii este situată în afara sferei, am desenat mental. Prin urmare, nu există câmp în interiorul mingii:

În mod similar, folosind teorema lui Gauss, se poate calcula câmpul electrostatic creat de o încărcare infinită.

plan cu o densitate constantă în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de forță sunt perpendiculare pe plan, îndreptate din acesta în ambele direcții și au aceeași densitate peste tot. Într-adevăr, dacă densitatea liniilor de câmp în diferite puncte ar fi diferită, atunci mutarea unui plan încărcat de-a lungul ei însuși ar duce la o schimbare a câmpului în aceste puncte, ceea ce contrazice simetria sistemului - o astfel de schimbare nu ar trebui să schimbe câmpul. Cu alte cuvinte, câmpul unui plan infinit încărcat uniform este uniform.

Ca suprafață închisă pentru aplicarea teoremei lui Gauss, alegem suprafața unui cilindru construit astfel: generatoarea cilindrului este paralelă cu liniile de forță, iar bazele au zone paralele cu planul încărcat și se află pe părțile opuse ale acestuia. (Fig. 12). Fluxul intensității câmpului prin suprafața laterală este zero, deci fluxul total prin suprafața închisă este egal cu suma fluxurilor prin bazele cilindrului:

Orez. 12. Către calculul intensității câmpului unui plan încărcat uniform

Conform teoremei lui Gauss, același flux este determinat de sarcina acelei părți a planului care se află în interiorul cilindrului, iar în SI este egal cu Comparând aceste expresii pentru flux, găsim

În sistemul SGSE, intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform este dată de formula

Pentru o placă uniform încărcată de dimensiuni finite, expresiile obţinute sunt aproximativ valabile într-o regiune situată suficient de departe de marginile plăcii şi nu prea departe de suprafaţa acesteia. În apropierea marginilor plăcii, câmpul nu va mai fi uniform și liniile sale de câmp vor fi îndoite. La distanțe foarte mari în comparație cu dimensiunea plăcii, câmpul scade cu distanța în același mod ca și câmpul unei sarcini punctiforme.

Alte exemple de câmpuri create de surse distribuite simetric includ câmpul unui încărcat uniform pe lungimea unui fir rectiliniu infinit, câmpul unui cilindru circular infinit încărcat uniform, câmpul unei bile,

încărcat uniform pe tot volumul etc. Teorema lui Gauss face posibilă calcularea cu ușurință a intensității câmpului în toate aceste cazuri.

Teorema lui Gauss oferă o relație între câmp și sursele sale, într-un fel opusă celei date de legea lui Coulomb, care permite determinarea câmpului electric din sarcini date. Folosind teorema lui Gauss, puteți determina sarcina totală în orice regiune a spațiului în care este cunoscută distribuția câmpului electric.

Care este diferența dintre conceptele de acțiune cu rază lungă și rază scurtă atunci când descriem interacțiunea sarcinilor electrice? În ce măsură aceste concepte pot fi aplicate interacțiunilor gravitaționale?

Ce este puterea câmpului electric? Ce înseamnă ele când se numește forță caracteristică câmpului electric?

Cum se poate judeca direcția și mărimea intensității câmpului la un anumit punct din modelul liniilor de câmp?

Se pot intersecta liniile câmpului electric? Spuneți motivele răspunsului dvs.

Desenați o imagine calitativă a liniilor de câmp electrostatic a două sarcini astfel încât .

Fluxul intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este exprimat prin diferite formule (11) și (12) în unitățile GSE și SI. Cum poate fi reconciliat acest lucru cu semnificația geometrică a curgerii, determinată de numărul de linii de forță care traversează suprafața?

Cum să folosiți teorema lui Gauss pentru a găsi intensitatea câmpului electric atunci când sarcinile care o creează sunt distribuite simetric?

Cum se aplică formulele (14) și (15) pentru a calcula intensitatea câmpului unei mingi cu sarcină negativă?

Teorema lui Gauss și geometria spațiului fizic. Să ne uităm la demonstrarea teoremei lui Gauss dintr-un punct de vedere ușor diferit. Să revenim la formula (7), din care sa concluzionat că același număr de linii de forță trece prin orice suprafață sferică care înconjoară o sarcină. Această concluzie se datorează faptului că există o reducere a numitorilor ambelor părți ale egalității.

În partea dreaptă a apărut datorită faptului că forța de interacțiune dintre sarcini, descrisă de legea lui Coulomb, este invers proporțională cu pătratul distanței dintre sarcini. În partea stângă, aspectul este legat de geometrie: aria suprafeței unei sfere este proporțională cu pătratul razei sale.

Proporționalitatea suprafeței cu pătratul dimensiunilor liniare este un semn distinctiv al geometriei euclidiene în spațiul tridimensional. Într-adevăr, proporționalitatea ariilor exact cu pătratele dimensiunilor liniare, și nu cu orice alt grad întreg, este caracteristică spațiului

trei dimensiuni. Faptul că acest exponent este exact egal cu doi și nu diferă de doi, chiar și cu o cantitate neglijabil de mică, indică faptul că acest spațiu tridimensional nu este curbat, adică geometria sa este tocmai euclidiană.

Astfel, teorema lui Gauss este o manifestare a proprietăților spațiului fizic în legea fundamentală a interacțiunii sarcinilor electrice.

Ideea unei legături strânse între legile fundamentale ale fizicii și proprietățile spațiului a fost exprimată de multe minți remarcabile cu mult înainte ca aceste legi în sine să fie stabilite. Astfel, I. Kant, cu trei decenii înainte de descoperirea legii lui Coulomb, scria despre proprietățile spațiului: „Tridimensionalitatea apare, aparent, pentru că substanțele din lumea existentă acționează unele asupra altora în așa fel încât forța de acțiune este invers proporțional cu pătratul distanței.”

Legea lui Coulomb și teorema lui Gauss reprezintă de fapt aceeași lege a naturii exprimată în forme diferite. Legea lui Coulomb reflectă conceptul de acțiune cu rază lungă de acțiune, în timp ce teorema lui Gauss provine din ideea unui câmp de forță care umple spațiul, adică din conceptul de acțiune cu rază scurtă de acțiune. În electrostatică, sursa câmpului de forță este o sarcină, iar caracteristica câmpului asociat sursei - fluxul de intensitate - nu se poate modifica în spațiul gol unde nu există alte sarcini. Întrucât fluxul poate fi imaginat vizual ca un set de linii de câmp, imuabilitatea fluxului se manifestă în continuitatea acestor linii.

Teorema lui Gauss, bazată pe proporționalitatea inversă a interacțiunii cu pătratul distanței și pe principiul suprapunerii (aditivitatea interacțiunii), este aplicabilă oricărui câmp fizic în care funcționează legea inversului pătratului. În special, este valabil și pentru câmpul gravitațional. Este clar că aceasta nu este doar o coincidență, ci o reflectare a faptului că atât interacțiunile electrice, cât și cele gravitaționale se desfășoară în spațiul fizic euclidian tridimensional.

Pe ce caracteristică a legii interacțiunii sarcinilor electrice se bazează teorema Gauss?

Demonstrați, pe baza teoremei lui Gauss, că intensitatea câmpului electric al unei sarcini punctiforme este invers proporțională cu pătratul distanței. Ce proprietăți ale simetriei spațiale sunt utilizate în această demonstrație?

Cum se reflectă geometria spațiului fizic în legea lui Coulomb și teorema lui Gauss? Ce caracteristică a acestor legi indică natura euclidiană a geometriei și tridimensionalitatea spațiului fizic?

Calcularea intensității câmpului unui sistem mare de sarcini electrice folosind principiul suprapunerii câmpurilor electrostatice poate fi simplificată semnificativ folosind teorema lui Gauss. Această teoremă definește fluxul vectorului de tensiune câmp electric printr-o suprafață închisă arbitrară.

Pentru o suprafață închisă arbitrară S fluxul vectorului de tensiune prin această suprafață este dat de

(1.23)

unde este proiecția vectorului pe normala zonei dS(Fig. 1.10); un vector al cărui modul este egal cu dS, iar direcția coincide cu direcția normalei față de site ().

Luați în considerare o suprafață sferică cu rază r, acoperind o taxă punctuală q, situat în centrul său (Fig. 1.11). În conformitate cu formula (1.23), fluxul vectorului de tensiune prin această suprafață va fi egal cu:

Acest rezultat este valabil pentru o suprafață închisă de orice formă: dacă înconjurăm sfera în cauză cu o suprafață închisă arbitrară, atunci fiecare linie de tensiune care pătrunde în sferă va trece și ea prin această suprafață.

Să luăm acum în considerare cazul general al unei suprafețe închise arbitrare înconjurătoare n taxe. În conformitate cu principiul suprapunerii, intensitatea câmpului creat de toate sarcinile este egală cu suma vectorială a intensităților câmpului cauzate de fiecare sarcină separat; prin urmare, fluxul vectorului intensității câmpului rezultat va fi egal cu:

Conform (1.24), fiecare dintre integralele de sub semnul sumei este egală cu . Prin urmare,

(1.25)

acestea. fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică.

Să aplicăm teorema lui Gauss pentru a determina intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform. În acest caz, densitatea sa de sarcină la suprafață

este la fel oriunde în avion. Aceasta înseamnă că liniile de tensiune sunt perpendiculare pe plan în orice punct, adică. câmpul planului încărcat este uniform (Fig. 1.12).

Să selectăm mental un cilindru în spațiu, a cărui axă este perpendiculară pe plan și una dintre baze trece prin punctul de interes pentru noi. Conform teoremei lui Gauss,

Pe de altă parte, deoarece liniile de tensiune intersectează doar bazele cilindrului, fluxul vectorial poate fi exprimat în termeni de intensitatea câmpului electric la ambele baze ale cilindrului, adică.

Să prezentăm (fără derivare) expresii pentru calcularea intensității câmpului electrostatic format de alte corpuri încărcate.