Tensiunea sferică Teorema lui Gauss. Aplicarea teoremei lui Gauss la calcularea câmpurilor electrice

Când există multe taxe, apar unele dificultăți la calcularea câmpurilor.

Teorema lui Gauss ajută la depășirea lor. Esenta teorema lui Gauss se rezumă la următoarele: dacă un număr arbitrar de sarcini sunt înconjurate mental de o suprafață închisă S, atunci fluxul intensității câmpului electric printr-o zonă elementară dS poate fi scris ca dФ = Есоsα۰dS unde α este unghiul dintre normala și planul și vectorul rezistență . (Fig. 12.7)

Fluxul total prin întreaga suprafață va fi egal cu suma fluxurilor de la toate sarcinile distribuite aleator în interiorul acesteia și proporțional cu mărimea acestei sarcini.

(12.9)

Să determinăm curgerea vectorului intensitate printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află o sarcină punctiformă +q (Fig. 12.8). Liniile de tensiune sunt perpendiculare pe suprafața sferei, α = 0, deci cosα = 1. Atunci

Dacă câmpul este format dintr-un sistem de taxe, atunci

Teorema lui Gauss: fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică.

(12.10)

Dacă nu există încărcături în interiorul sferei, atunci Ф = 0.

Teorema lui Gauss face relativ simplă calcularea câmpurilor electrice pentru sarcini distribuite simetric.

Să introducem conceptul de densitate a sarcinilor distribuite.

Densitatea liniară se notează τ și caracterizează sarcina q pe unitatea de lungime ℓ. În general, poate fi calculat folosind formula

(12.11)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, densitatea liniară este egală cu

Densitatea suprafeței se notează cu σ și caracterizează sarcina q pe unitatea de suprafață S. În general, este determinată de formula

(12.12)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor pe suprafață, densitatea suprafeței este egală cu

Densitatea de volum se notează cu ρ și caracterizează sarcina q pe unitatea de volum V. În general, este determinată de formula

(12.13)

Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, este egală cu
.

Deoarece sarcina q este distribuită uniform pe sferă, atunci

σ = const. Să aplicăm teorema lui Gauss. Să desenăm o sferă cu rază prin punctul A. Curgerea vectorului tensiune din Fig. 12.9 printr-o suprafață sferică cu rază este egal cu cosα = 1, deoarece α = 0. Conform teoremei lui Gauss,
.

(12.14)

Din expresia (12.14) rezultă că intensitatea câmpului în afara sferei încărcate este aceeași cu intensitatea câmpului unei sarcini punctiforme plasate în centrul sferei. Pe suprafata sferei, i.e. r 1 = r 0, tensiune
.

În interiorul sferei r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Un cilindru cu raza r 0 este încărcat uniform cu densitatea suprafeței σ (Fig. 12.10). Să determinăm intensitatea câmpului într-un punct A ales în mod arbitrar. Să desenăm o suprafață cilindrică imaginară cu raza R și lungimea ℓ prin punctul A. Datorită simetriei, fluxul va ieși numai prin suprafețele laterale ale cilindrului, deoarece sarcinile de pe cilindrul cu raza r 0 sunt distribuite uniform pe suprafața acestuia, adică. liniile de tensiune vor fi drepte radiale, perpendiculare pe suprafețele laterale ale ambilor cilindri. Deoarece curgerea prin baza cilindrilor este zero (cos α = 0), iar suprafața laterală a cilindrului este perpendiculară pe liniile de forță (cos α = 1), atunci

(12.15)

Să exprimăm valoarea lui E prin σ - densitatea suprafeței. A-priorie,

prin urmare,

Să înlocuim valoarea lui q în formula (12.15)

(12.16)

Prin definiția densității liniare,
, Unde
; substituim această expresie în formula (12.16):

(12.17)

acestea. Intensitatea câmpului creat de un cilindru încărcat infinit de lung este proporțională cu densitatea de sarcină liniară și invers proporțională cu distanța.

Intensitatea câmpului creată de un plan infinit încărcat uniform

Să determinăm intensitatea câmpului creat de un plan infinit încărcat uniform în punctul A. Fie ca densitatea de sarcină la suprafață a planului să fie egală cu σ. Ca suprafață închisă, este convenabil să alegeți un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan și a cărui bază dreaptă conține punctul A. Planul împarte cilindrul în jumătate. Evident, liniile de forță sunt perpendiculare pe plan și paralele cu suprafața laterală a cilindrului, astfel încât întregul flux trece doar prin baza cilindrului. Pe ambele baze intensitatea câmpului este aceeași, deoarece punctele A și B sunt simetrice față de plan. Apoi debitul prin baza cilindrului este egal cu

Conform teoremei lui Gauss,

Deoarece
, Acea
, Unde

(12.18)

Astfel, intensitatea câmpului unui plan infinit de încărcare este proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței și nu depinde de distanța până la plan. Prin urmare, câmpul planului este uniform.

Intensitatea câmpului creată de două plane paralele încărcate uniform opus

Câmpul rezultat creat de două planuri este determinat de principiul suprapunerii câmpului:
(Fig. 12.12). Câmpul creat de fiecare plan este uniform, puterile acestor câmpuri sunt egale ca mărime, dar direcție opusă:
. Conform principiului suprapunerii, intensitatea totală a câmpului în afara planului este zero:

Între planuri, intensitățile câmpului au aceleași direcții, deci puterea rezultată este egală cu

Astfel, câmpul dintre două planuri încărcate diferit este uniform și intensitatea sa este de două ori mai puternică decât intensitatea câmpului creat de un plan. Nu există câmp în stânga și în dreapta avioanelor. Câmpul planurilor finite are aceeași formă; distorsiunea apare doar lângă granițele lor. Folosind formula rezultată, puteți calcula câmpul dintre plăcile unui condensator plat.

Să considerăm câmpul unei sarcini punctuale $q$ și să găsim fluxul vectorului de intensitate ($\overrightarrow(E)$) prin suprafața închisă $S$. Vom presupune că sarcina este situată în interiorul suprafeței. Fluxul vectorului de tensiune prin orice suprafață este egal cu numărul de linii ale vectorului de tensiune care ies (începe cu sarcina, dacă $q>0$) sau numărul de linii $\overrightarrow(E)$ care intră. , dacă $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]

unde semnul fluxului coincide cu semnul sarcinii.

Teorema Ostrogradsky-Gauss în formă integrală

Să presupunem că în interiorul suprafeței S există N sarcini punctiforme, valori $q_1,q_2,\dots q_N.$ Din principiul suprapunerii știm că intensitatea câmpului rezultată a tuturor N sarcini poate fi găsită ca sumă a intensitățile câmpului care sunt create de fiecare dintre sarcini, apoi există:

Prin urmare, pentru fluxul unui sistem de sarcini punctiforme putem scrie:

Folosind formula (1), obtinem ca:

\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ stânga(4\dreapta).\]

Ecuația (4) înseamnă că fluxul vectorului intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor care se află în interiorul acestei suprafețe, împărțită la constanta electrică. Aceasta este teorema Ostrogradsky-Gauss în formă integrală. Această teoremă este o consecință a legii lui Coulomb. Semnificația acestei teoreme este că permite să se calculeze pur și simplu câmpuri electrice pentru diferite distribuții de sarcină.

Ca o consecință a teoremei Ostrogradsky-Gauss, trebuie spus că fluxul vectorului intensitate ($Ф_E$) printr-o suprafață închisă în cazul în care sarcinile sunt în afara acestei suprafețe este egal cu zero.

În cazul în care discretitatea sarcinilor poate fi ignorată, se utilizează conceptul de densitate volumetrică a sarcinii ($\rho $) dacă sarcina este distribuită în volum. Este definit ca:

\[\rho =\frac(dq)(dV)\stanga(5\dreapta),\]

unde $dq$ este o taxă care poate fi considerată punctuală, $dV$ este un volum mic. (În ceea ce privește $dV$, trebuie făcută următoarea remarcă. Acest volum este suficient de mic încât densitatea de încărcare din el să poată fi considerată constantă, dar suficient de mare încât să nu înceapă să apară discreția de încărcare). Sarcina totală care se află în cavitate poate fi găsită ca:

\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]

În acest caz, rescriem formula (4) sub forma:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]

Teorema Ostrogradsky-Gauss în formă diferenţială

Folosind formula Ostrogradsky-Gauss pentru orice câmp de natură vectorială, cu ajutorul căruia se realizează tranziția de la integrarea pe o suprafață închisă la integrarea pe un volum:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]

unde $\overrightarrow(a)-$vector câmp (în cazul nostru este $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\ partial a_x)(\partial x)+\frac(\partial a_y)(\partial y)+\frac(\partial a_z)(\partial z)$ -- divergența vectorului $\overrightarrow(a)$ la punct cu coordonate ( x,y,z), care mapează un câmp vectorial cu unul scalar. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ parțial z)\overrightarrow(k)$ - operator observabil. (În cazul nostru va fi $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) -- divergența vectorului tensiune. Urmând cele de mai sus, rescriem formula (6) ca:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\stanga(9\dreapta).\]

Egalitățile din ecuația (9) sunt îndeplinite pentru orice volum, iar acest lucru este fezabil numai dacă funcțiile care sunt în integranți sunt egale în fiecare curent al spațiului, adică putem scrie că:

Expresia (10) este teorema Ostrogradsky-Gauss în formă diferenţială. Interpretarea sa este următoarea: sarcinile sunt surse ale unui câmp electric. Dacă $div\overrightarrow(E)>0$, atunci în aceste puncte ale câmpului (taxele sunt pozitive) avem surse de câmp, dacă $div\overrightarrow(E)

Atribuire: Sarcina este distribuită uniform pe volum; în acest volum este selectată o suprafață cubică cu latura b. Este înscris în sferă. Aflați raportul fluxurilor vectorului de tensiune prin aceste suprafețe.

Conform teoremei lui Gauss, fluxul ($Ф_E$) al vectorului intensitate $\overrightarrow(E)$ printr-o suprafață închisă cu o distribuție uniformă a sarcinii pe volum este egal cu:

\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).\]

Prin urmare, trebuie să determinăm volumele cubului și ale bilei dacă bila este descrisă în jurul acestui cub. Pentru început, volumul unui cub ($V_k$) dacă latura lui b este egală cu:

Să găsim volumul mingii ($V_(sh)$) folosind formula:

unde $D$ este diametrul bilei și (deoarece bila este circumscrisă în jurul cubului), diagonala principală a cubului. Prin urmare, trebuie să exprimăm diagonala unui cub în termeni de latură. Acest lucru este ușor de făcut dacă utilizați teorema lui Pitagora. Pentru a calcula diagonala unui cub, de exemplu, (1.5), trebuie mai întâi să găsim diagonala pătratului (baza inferioară a cubului) (1.6). Lungimea diagonalei (1.6) este egală cu:

În acest caz, lungimea diagonalei (1.5) este egală cu:

\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1,5\dreapta).\]

Înlocuind diametrul găsit al bilei în (1.3), obținem:

Acum putem găsi fluxurile vectorului de tensiune prin suprafața cubului, acesta este egal cu:

\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]

prin suprafața mingii:

\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Să găsim raportul $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:

\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \aproximativ 2,7\left(1,9\right).\]

Răspuns: Fluxul prin suprafața mingii este de 2,7 ori mai mare.

Sarcină: Demonstrați că sarcina unui conductor este situată pe suprafața sa.

Folosim teorema lui Gauss pentru a o demonstra. Să selectăm o suprafață închisă de formă arbitrară în conductor lângă suprafața conductorului (Fig. 2).

Să presupunem că există sarcini în interiorul conductorului, scriem teorema Ostrogradsky-Gauss pentru divergența câmpului pentru orice punct de pe suprafața S:

unde $\rho este densitatea\ $încărcăturii interne. Cu toate acestea, în interiorul conductorului nu există niciun câmp, adică $\overrightarrow(E)=0$, prin urmare, $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$. Teorema Ostrogradsky-Gauss în formă diferențială este locală, adică este scrisă pentru un punct de câmp, nu am selectat punctul într-un mod special, prin urmare, densitatea de sarcină este zero în orice punct al câmpului din interiorul conductorului.

Să determinăm fluxul intensității câmpului electrostatic al sarcinilor q 1 ,q 2 ,...q n în vid (e=1) printr-o suprafață închisă arbitrară care înconjoară aceste sarcini.

Să considerăm mai întâi cazul unei suprafețe sferice de rază R care înconjoară o sarcină +q situată în centrul acesteia (Fig. 1.7).

, unde este integrala peste suprafața închisă a sferei. În toate punctele sferei, mărimea vectorului este aceeași și el însuși este direcționat perpendicular pe suprafață. Prin urmare . Suprafața sferei este de . Rezultă că

Rezultatul obținut va fi valabil și pentru o suprafață S¢ de formă arbitrară, deoarece este străbătută de același număr de linii de forță.

Figura 1.8 prezintă o suprafață închisă arbitrară care acoperă o sarcină q>0. Unele linii de tensiune fie părăsesc suprafața, fie intră în ea. Pentru toate liniile de tensiune, numărul de intersecții cu suprafața este impar.

După cum sa menționat în paragraful anterior, liniile de tensiune care ies dintr-un volum delimitat de o suprafață închisă creează un flux pozitiv F e; liniile care intră în volum creează un flux negativ -F e. Se compensează fluxurile de linie la intrare și la ieșire. Astfel, atunci când se calculează debitul total prin întreaga suprafață, trebuie luată în considerare o singură intersecție (necompensată) a suprafeței închise de către fiecare linie de tensiune.

Dacă sarcina q nu este acoperită de o suprafață închisă S, atunci numărul de linii de forță care intră și ies din această suprafață este același (Fig. 1.9). Fluxul vectorial total printr-o astfel de suprafață este zero: Ф E =0.

Să luăm în considerare cazul cel mai general al unei suprafețe de formă arbitrară care acoperă n sarcini. Conform principiului suprapunerii câmpurilor electrostatice, intensitatea creată de sarcini q 1 , q 2 ,...q n este egală cu suma vectorială a intensităților create de fiecare sarcină separat: . Proiecția vectorului - intensitatea câmpului rezultată pe direcția normalei la situl dS este egală cu suma algebrică a proiecțiilor tuturor vectorilor pe această direcție: ,

Fluxul vectorului intensității câmpului electrostatic în vid printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor acoperite de această suprafață, împărțită la constanta electrică e 0 . Această formulare este o teoremă a lui K. Gauss.

În general, sarcinile electrice pot fi distribuite cu o anumită densitate de volum, diferită în diferite locuri din spațiu. Atunci sarcina totală a volumului V acoperit de suprafața închisă S este egală cu iar teorema lui Gauss ar trebui scrisă sub forma .

Teorema lui Gauss prezintă un interes practic semnificativ: poate fi folosită pentru a determina intensitatea câmpului creat de corpuri încărcate de diferite forme.

Teorema lui Gauss stabilește o relație exactă între fluxul intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă și sarcina totală Q în interiorul acelei suprafețe:

Unde ε 0 - aceeași constantă (constantă electrică) ca în legea lui Coulomb.
Să subliniem asta Q este sarcina conținută în suprafața pe care integrala este luată pe partea stângă. În acest caz, nu contează exact modul în care sarcina este distribuită în interiorul suprafeței; sarcinile din afara suprafeței nu sunt luate în considerare. (Încărcarea externă poate afecta locația liniilor de câmp, dar nu și suma algebrică a liniilor care intră și ies de pe suprafață.

Înainte de a trece la o discuție a teoremei lui Gauss, observăm că integrala de suprafață nu este întotdeauna ușor de calculat în practică, dar necesitatea acestui lucru nu apare des, cu excepția celor mai simple situații, pe care le vom analiza mai jos.

Cum sunt legate între ele teorema lui Gauss și legea lui Coulomb? Să arătăm mai întâi că legea lui Coulomb decurge din teorema lui Gauss. Luați în considerare o încărcare punctuală unică Q. Prin presupunere, teorema lui Gauss este valabilă pentru o suprafață închisă arbitrară. Să alegem așadar suprafața cu care este cel mai convenabil să ne ocupăm: suprafața simetrică a unei sfere cu o rază r, în centrul căruia se află sarcina noastră Q(Fig. 23.7).

Deoarece sfera (imaginară, desigur) este simetrică în raport cu sarcina situată în centrul ei, intensitatea câmpului electric E trebuie să aibă aceeași valoare în orice punct al sferei; în plus, vector E oriunde îndreptat spre exterior (sau peste tot spre interior) paralel cu vectorul dA element de suprafață. Apoi egalitatea

ia forma

(aria unei sfere cu rază r egal cu 4πr 2). De aici găsim

Ca rezultat, am obținut legea lui Coulomb.

Acum cam invers. În general, teorema lui Gauss nu poate fi derivată din legea lui Coulomb: teorema lui Gauss este o afirmație mai generală (și mai subtilă) decât legea lui Coulomb. Totuși, pentru unele cazuri speciale, teorema lui Gauss poate fi obținută din legea lui Coulomb; folosim raționamentul general cu privire la liniile de forță. Să considerăm mai întâi o sarcină punctiformă solitară înconjurată de o suprafață sferică (Fig. 23.7). Conform legii lui Coulomb, intensitatea câmpului electric într-un punct de pe suprafața unei sfere este egală cu

E = (1 /4πε 0)(Q/r)

Efectuând un raționament similar în ordine inversă, obținem

Aceasta este teorema lui Gauss și am derivat-o pentru cazul special al unei sarcini punctiforme în centrul unei suprafețe sferice. Dar ce zici de o suprafață cu formă neregulată, cum ar fi o suprafață A 2 din fig. 23.8. Prin această suprafață trec același număr de linii de forță ca și prin sferă. A 1, dar deoarece fluxul intensității câmpului electric printr-o suprafață este proporțional cu numărul de linii de câmp care trec prin ea, curgerea prin A 2 este egal cu curgerea prin A 1 .

Prin urmare, ar trebui de așteptat ca formula

valabil pentru orice suprafață închisă care înconjoară o sarcină punctiformă.

Să luăm în sfârșit să luăm în considerare cazul în care nu există doar o singură sarcină în interiorul suprafeței. Pentru fiecare taxă separat

Dar, deoarece intensitatea totală a câmpului electric E este suma intensităților datorate sarcinilor individuale, atunci

unde este sarcina totală conținută în suprafață.
Deci, aceste argumente simple ne spun că teorema lui Gauss este valabilă pentru orice distribuție a sarcinilor electrice în interiorul oricărei suprafețe închise. Trebuie avut în vedere, însă, că domeniul E nu neapărat din cauza taxelor Q, care sunt situate în interiorul suprafeței. De exemplu, în Fig. 23.3 discutat mai devreme, câmpul electric E există în toate punctele suprafeței, dar nu este creat deloc de sarcina din interiorul suprafeței (aici Q= 0). Teorema lui Gauss este valabilă pentru fluxul intensității câmpului electric prin orice suprafață închisă; se afirmă că dacă fluxul direcționat în suprafață nu este egal cu fluxul direcționat spre exterior, atunci acest lucru se datorează prezenței sarcinilor în interiorul suprafeței.

Teorema lui Gauss este valabilă pentru orice câmp vectorial invers proporțional cu pătratul distanței, de exemplu, pentru câmpul gravitațional. Dar pentru câmpuri de alte tipuri nu va fi executat. Să presupunem, de exemplu, că câmpul unei sarcini punctiforme scade cu cât kQ/r; apoi curgerea printr-o sferă de rază r ar fi determinat de expresie

Cu cât raza sferei este mai mare, cu atât fluxul ar fi mai mare, chiar dacă sarcina din interiorul sferei rămâne constantă.

Aplicații ale teoremei lui Gauss

Teorema lui Gauss ne permite să exprimăm relația dintre sarcina electrică și intensitatea câmpului electric într-o formă foarte compactă și elegantă. Folosind această teoremă, este ușor să găsiți intensitatea câmpului în cazul în care distribuția sarcinii se dovedește a fi destul de simplă și simetrică. Cu toate acestea, trebuie avut grijă să selectați corect suprafața de integrare. De obicei, ei încearcă să aleagă o suprafață astfel încât puterea câmpului electric E a fost constantă pe toată suprafața, sau cel puțin în anumite zone ale acesteia.

Pentru a obține aceste rezultate pe baza legii lui Coulomb, ar trebui să muncim din greu integrând peste volumul sferei. Datorită utilizării teoremei lui Gauss și a simetriei problemei, soluția s-a dovedit a fi aproape banală. Aceasta demonstrează puterea enormă a teoremei lui Gauss. Cu toate acestea, o astfel de utilizare a acestei teoreme este limitată în principal la cazurile în care distribuția sarcinii are o simetrie ridicată. În astfel de situații, alegem o suprafață simplă pe care E = const, iar integrala poate fi luată fără dificultate. Desigur, teorema lui Gauss este valabilă pentru orice suprafață; suprafețele „simple” sunt alese doar pentru a facilita integrarea.

Concluzie

Flux uniform al intensității câmpului electric E peste zona plată A egală F E= E A. Dacă câmpul este neomogen, atunci fluxul este determinat de integrală F E= ∫E dA.
Vector A(sau dA) îndreptată perpendicular pe amplasament A(sau dA); pentru un vector de suprafață închisă Aîndreptată spre exterior. Fluxul printr-o suprafață este proporțional cu numărul de linii de câmp care trec prin acea suprafață.

teorema lui Gauss afirmă că fluxul de intensitate a câmpului electric rezultat care trece printr-o suprafață închisă este egal cu sarcina totală din suprafață împărțită la ε 0 :

În principiu, teorema lui Gauss poate fi utilizată pentru a determina intensitatea câmpului electric creat de o distribuție dată de sarcină. Cu toate acestea, în practică, utilizarea sa este limitată în principal la câteva cazuri speciale când distribuția sarcinii are o simetrie ridicată. Adevărata valoare a teoremei lui Gauss este că stabilește, într-o formă mai generală și mai elegantă decât legea lui Coulomb, relația dintre sarcina electrică și intensitatea câmpului electric. Teorema lui Gauss este una dintre ecuațiile fundamentale ale teoriei electromagnetice.

Va urma. Pe scurt despre următoarea publicație:

Comentariile și sugestiile sunt acceptate și binevenite!

Într-un număr de cazuri, teorema lui Gauss face posibilă găsirea intensității câmpului electric al corpurilor încărcate extinse fără a recurge la calcularea integralelor greoaie. Acest lucru se aplică de obicei corpurilor a căror formă geometrică are anumite elemente de simetrie (bilă, cilindru, plan). Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a teoremei lui Gauss pentru a calcula puterea câmpurilor electrice.

Exemplul 1. Câmpul unui plan încărcat uniform.

Câmpul electric creat de un plan încărcat uniform extins la infinit este uniform - în fiecare punct al spațiului din afara planului, intensitatea sa este aceeași peste tot. Acest câmp este îndreptat perpendicular pe plan în ambele direcții (Fig. 2.5). Așadar, pentru curgerea vectorului intensității câmpului printr-o suprafață cilindrică aleasă arbitrar care se sprijină pe un element din planul ΔS, putem scrie: , de unde , unde este densitatea sarcinii de suprafață. Dimensiunea în SI: .

Astfel, intensitatea câmpului electric dorită plan încărcat uniform .

Exemplul 2. Câmp al unui filet (cilindru) încărcat uniform.

În acest caz, câmpul electric are simetrie axială - nu depinde de unghiul azimutal φ și de coordonata z și este direcționat de-a lungul vectorului rază (Fig. 2.6). Prin urmare, pentru fluxul vectorial printr-o suprafață cilindrică selectată cu o axă care coincide cu firul încărcat, avem: , unde este un element al unei suprafețe cilindrice; l– lungimea unei secțiuni arbitrare a firului.

Pe de altă parte, conform teoremei lui Gauss, acest flux este egal cu: unde , este densitatea de sarcină liniară a firului. De aici găsim: .

Intensitatea câmpului electric necesară fir încărcat uniform : .

Exemplul 3. Câmp al unei mingi încărcate uniform.

A) Minge de metal. În echilibru, sarcinile sunt distribuite uniform pe suprafața exterioară a bilei încărcate (Fig. 2.7). Prin urmare, când< (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

În afara bilei (>), câmpul electric creat de sarcinile distribuite uniform pe suprafața sa are simetrie sferică (direcționată de-a lungul liniilor radiale), prin urmare, conform teoremei lui Gauss:

Vedem că câmpul electric al unei bile de metal încărcate uniform nu depinde de raza bilei și coincide cu câmpul taxă punctuală .

b) Bilă dielectrică .

Luați în considerare o minge cu o constantă dielectrică condiționată ε = 1, încărcat uniform pe tot volumul cu densitate de sarcină (Fig. 2.8).

Dimensiunea densității de sarcină volumetrică în SI: .

Încărcarea totală a mingii este evident: .

După teorema lui Gauss avem:

1) În interiorul mingii(r< R) : , unde Δq = este sarcina regiunii interne a bilei, limitată de suprafața sferică selectată de rază r. De aici găsim: .

2) În afara mingii (r > R): , de unde = ,

acesta este in afara câmp electric cu bila dielectrică încărcată aceeași , ca în cazul metal minge.

Figura 2.9 prezintă evoluția calitativă a dependențelor E(r) pentru bile metalice si dielectrice.

metal Fig.2.9. Dependenta E(r). dielectric

1.4 Teorema lui Gauss. Vector de inducție electrică.

teorema lui Gauss.

Calcularea intensității câmpului unui sistem de sarcini electrice folosind principiul suprapunerii câmpurilor electrostatice poate fi simplificată semnificativ folosind teorema lui Gauss, care determină fluxul vectorului intensității câmpului electric. printr-o suprafață închisă arbitrară.

Luați în considerare fluxul vectorului de tensiune printr-o suprafață sferică de rază r, acoperind o taxă punctuală q, situat în centrul său

Acest rezultat este adevărat pentru orice suprafață închisă de formă arbitrară, acoperind taxa.

Dacă suprafața închisă nu acoperă încărcarea, atunci debitul prin el este zero, deoarece numărul de linii de tensiune care intră pe suprafață este egal cu numărul de linii de tensiune care ies din ea.

Sa luam in considerare caz general arbitrar suprafata inconjuratoare n taxe.Conform principiului suprapunerii, intensitatea câmpului creat de toate sarcinile este egală cu suma intensităților create de fiecare sarcină separat. De aceea

Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic în vid:vectorul de flux al intensității câmpului electrostatic în vid printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu algebric suma sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe împărțită la ε 0 .