Cum se examinează un grafic pentru paritate. Funcții pare și impare

• Înlocuiți valori numerice pozitive în funcție x (\displaystyle x)și valorile numerice negative corespunzătoare. De exemplu, având în vedere funcția f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Înlocuiți următoarele valori în el x (\displaystyle x):

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de axa Y. Simetria înseamnă o imagine în oglindă a graficului în raport cu axa ordonatelor. Dacă partea graficului din dreapta axei Y (valorile pozitive ale variabilei independente) este aceeași cu partea graficului din stânga axei Y (valorile negative ale variabilei independente ), graficul este simetric față de axa Y. Dacă funcția este simetrică față de axa y, funcția este pară.

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de origine. Originea este punctul cu coordonatele (0,0). Simetria cu privire la origine înseamnă că o valoare pozitivă y (\displaystyle y)(cu valoare pozitivă x (\displaystyle x)) corespunde unei valori negative y (\displaystyle y)(cu valoare negativă x (\displaystyle x)), si invers. Funcțiile impare au simetrie față de origine.

Ascundeți afișarea

Metode pentru specificarea unei funcții

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Luând orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3, puteți calcula o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul unui grafic se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie ciudată, când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudat si se numeste functia generala, când nu are simetrie față de axă sau origine.

Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

O funcție y=f(x) în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x este numită functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.

Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor din graficul funcției situate deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funcție limitată

Mărginit de jos Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

Mărginit de sus se apelează o funcție y=f(x), x \in X când există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat Se obișnuiește să se apeleze o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție limitată: y=\sin x este limitată pe toată axa numerelor, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere atunci, când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare functia descrescatoare când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . Rezultă că, luând din intervalul luat în considerare două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funcția Rădăcini Se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x)=0).

a) Dacă pentru x > 0 o funcție pară crește, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade la x > 0, atunci crește la x< 0

c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea inegalitatea f(x) > f va fi atunci satisfăcut (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru ele inegalitatea f(x) va fi apoi satisfăcută< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condiție prealabilă

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este derivabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.

Stare suficientă

1. Când derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
2. x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval

Etape de calcul:

1. Se caută derivata f"(x);
2. Se găsesc punctele staționare și critice ale funcției și se selectează cele aparținând segmentului;
3. Valorile funcției f(x) se găsesc în punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultatele obținute va fi cea mai mică valoare a funcției, și altele - cel mai mare.

Care vă erau familiare într-o măsură sau alta. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y = f(x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = f (x).

Definiția 2.

Funcția y = f(x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x).

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Soluţie. Avem: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Dar(-x) 4 = x 4. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f(-x) = f(x), adică. funcția este egală.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 ~ o funcție impară.

Soluţie. Avem: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y = x, y = x 5, y = x 7 sunt impare.

Tu și cu mine am fost deja convinși de mai multe ori că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. pot fi explicate cumva. Acesta este cazul atât cu funcțiile pare, cât și cu cele impare. Vezi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sunt funcții impare, în timp ce y = x 2, y = x 4, y = x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y = x" (mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y = x" este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y = 2x + 3. Într-adevăr, f(1) = 5 și f (-1) = 1. După cum puteți vedea, aici, așadar, nici identitatea f(-x) = f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.

Studiul dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul parității.

Definițiile 1 și 2 se referă la valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în ​​punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului de definire al funcției simultan cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem că (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )