Kas võimsused korrutamisel tühistatakse? Arvude korrutamine ja jagamine astmetega

I. Samade alustega astmete korrutis.

Kahe samade alustega astme korrutist saab alati esitada astmena alusega x.

Definitsiooni järgi on võimsus x 7 seitsme teguri korrutis, millest igaüks on võrdne x-ga, ja x 9 on üheksa sama teguri korrutis. Seetõttu võrdub x 7 x 9 teguri 7 + 9 korrutisega. Igaüks neist on võrdne x-ga, see tähendab

x 7 x 9 = x 7+9 = x 16

Selgub, et kui astme a alus on suvaline arv ning m ja n on suvalised naturaalarvud, siis on võrdsus tõene:

a m · a n = a m + n

See võrdsus väljendab üht astme omadust.

Kahe sama baasiga astme korrutis on võrdne sama baasiga astmega ja astendajaga, mis on võrdne nende astmete astendite summaga.

See omadus esineb ka juhtudel, kui tegurite arv on suurem kui kaks.

Näiteks kolme teguri puhul on meil:

a m · a n · a k = (a m · a n)a k = a m+n · a k = a m+n+k

Teisenduste sooritamisel on mugav kasutada reeglit: astmete korrutamisel samade alustega jäetakse alused samaks, astendajad liidetakse.

Vaatame näiteid.

Näide 1.

x 6 x 5 = x 6+5 = x 11

Näide 2.

a 7 a -8 = a -1

Näide 3.

6 1,7 6 - 0,9 = 6 1,7 + (- 0,9) = 6 1,7 - 0,9 = 6 0,8

II. Kraadide osad samade alustega.

Kahe samade astendajatega astme jagatist saab alati esitada sama alusega astmena.

Vaatame näiteid.

Näide 1. Jagatist x 17: x 5 saab esitada astmena, mille alus on x:

x 17: x 5 = x 12,

kuna jagatise definitsiooni järgi ja astme omaduse alusel x 5 · x 12 = x 17. Jagatise eksponent (arv 12) võrdub dividendi ja jagaja eksponentide (17–5) vahega:

x 17: x 5 = x 17-5

Näide 2.

8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4

Näide 3.

a -8: a 6 = a -8-6 = a -14

Näide 4.

b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9

Näide 5.

9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2

Teisenduste sooritamisel on mugav kasutada reeglit: samade alustega astmete jagamisel jäetakse alused samaks, dividendi eksponendist lahutatakse jagaja eksponent.

Näide 6.

a 4: a 4 = a 4-4 = a 0

Avaldise a 0 väärtus mis tahes a ≠ 0 korral on võrdne 1-ga.

III. Kraadi tõstmine kraadini.

Olgu avaldise a 2 seitsmes aste esindatud astmena alusega a.

Definitsiooni järgi on võimsus (a 2) 7 seitsme teguri korrutis, millest igaüks on võrdne 2-ga, see tähendab

(a 2) 7 = a 2 · a 2 · a 2 × a 2 · a 2 · a 2 · a 2 .

Võimsuse omadust rakendades saame:

a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 · a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2,7 .

Selgub, (a 2) 7 = a 2 7 = a 14.

Positiivse astme tõstmisel jäetakse alus samaks ja astendajad korrutatakse:

(a m) n = a mn .

Vaatame näiteid.

Näide 1.

(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12

Näide 2.

((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Avaldised, väljendite teisendamine

Jõuväljendid (väljendid võimsustega) ja nende teisenemine

Selles artiklis räägime avaldiste teisendamisest võimsustega. Esiteks keskendume teisendustele, mida tehakse mis tahes tüüpi avaldistega, sealhulgas jõuväljenditega, nagu sulgude avamine ja sarnaste terminite toomine. Ja seejärel analüüsime teisendusi, mis on omased spetsiifiliselt astmetega avaldistele: töötamine baasi ja eksponendiga, kasutades kraadide omadusi jne.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on võimuväljendid?

Koolimatemaatikaõpikutes mõistet “jõuväljendid” praktiliselt ei esine, kuid ülesannete kogumites, eriti näiteks ühtseks riigieksamiks ja ühtseks riigieksamiks valmistumiseks mõeldud ülesandekogumites, esineb seda üsna sageli. Analüüsides ülesandeid, milles on vaja sooritada mis tahes toiminguid jõuavaldistega, saab selgeks, et jõuväljendite all mõeldakse väljendeid, mis sisaldavad oma kirjetes volitusi. Seetõttu võite enda jaoks nõustuda järgmise määratlusega:

Definitsioon.

Jõuväljendid on avaldised, mis sisaldavad kraadi.

Anname näiteid võimuväljenditest. Lisaks esitame need vastavalt sellele, kuidas toimub vaadete areng loomuliku astendajaga astmest reaalastendajaga astmeni.

Teatavasti tutvutakse esmalt naturaalastendajaga arvu astmega, selles etapis on esimesed lihtsamad tüübi 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) astmeavaldised. 4, 3 a 2 ilmuvad −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 jne.

Veidi hiljem uuritakse täisarvu astendajaga arvu võimsust, mille tulemusel ilmuvad negatiivsete täisarvu astmetega astmeavaldised, näiteks: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Keskkoolis naasevad nad kraadide juurde. Seal võetakse kasutusele ratsionaalse astendajaga aste, mis toob kaasa vastavate võimsusavaldiste ilmumise: , , ja nii edasi. Lõpuks vaadeldakse irratsionaalsete astendajatega astmeid ja neid sisaldavaid avaldisi: , .

Asi ei piirdu loetletud võimsusavaldistega: edasi tungib muutuja eksponendisse ja tekivad näiteks järgmised avaldised: 2 x 2 +1 või . Ja pärast tutvumist hakkavad tekkima astmete ja logaritmidega avaldised, näiteks x 2·lgx −5·x lgx.

Niisiis, oleme käsitlenud küsimust, mida võimuväljendid esindavad. Järgmisena õpime neid teisendama.

Võimuavaldiste teisenduste põhitüübid

Võimuavaldistega saate sooritada mis tahes põhilise identiteedi teisendusi. Näiteks saate avada sulgusid, asendada arvavaldisi nende väärtustega, lisada sarnaseid termineid jne. Loomulikult on sel juhul vaja toimingute tegemiseks järgida aktsepteeritud protseduuri. Toome näiteid.

Näide.

Arvutage võimsusavaldise 2 3 ·(4 2 −12) väärtus.

Lahendus.

Vastavalt toimingute sooritamise järjekorrale soorita esmalt sulgudes olevad toimingud. Seal asendame esiteks võimsuse 4 2 selle väärtusega 16 (vajadusel vt) ja teiseks arvutame vahe 16−12=4. Meil on 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.

Saadud avaldises asendame astme 2 3 selle väärtusega 8, mille järel arvutame korrutise 8·4=32. See on soovitud väärtus.

Niisiis, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Vastus:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Näide.

Lihtsustage väljendeid volituste abil 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lahendus.

Ilmselgelt sisaldab see avaldis sarnaseid termineid 3·a 4 ·b −7 ja 2·a 4 ·b −7 ning me saame need esitada: .

Vastus:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Näide.

Väljendage võimsustega väljendit produktina.

Lahendus.

Ülesandega saate hakkama, esitades arvu 9 astmena 3 2 ja kasutades seejärel lühendatud korrutamise valemit - ruutude erinevus:

Vastus:

Samuti on mitmeid identseid teisendusi, mis on omased konkreetselt võimuavaldistele. Analüüsime neid edasi.

Aluse ja eksponendiga töötamine

On astmeid, mille baas ja/või astendaja ei ole lihtsalt arvud või muutujad, vaid mõned avaldised. Näitena anname kirjed (2+0.3·7) 5−3.7 ja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Selliste avaldistega töötades saate asendada nii astme aluses kui ka eksponendis oleva avaldise muutujate ODZ-s identselt võrdse avaldisega. Ehk siis meile teadaolevate reeglite järgi saame eraldi teisendada astme baasi ja eraldi eksponendi. On selge, et selle teisenduse tulemusel saadakse avaldis, mis on identselt võrdne esialgsega.

Sellised teisendused võimaldavad meil väljendeid jõududega lihtsustada või muid vajalikke eesmärke saavutada. Näiteks eelpool mainitud astmeavaldises (2+0,3 7) 5−3,7 saab teha tehteid baasis ja astendajas olevate arvudega, mis võimaldavad liikuda astmele 4,1 1,3. Ja pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist astme (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) alusele saame astmeavaldise lihtsamal kujul a 2·(x+ 1) .

Kraadi omaduste kasutamine

Üks peamisi tööriistu avaldiste võimsustega teisendamiseks on võrdsused, mis peegeldavad . Meenutagem peamisi. Mis tahes positiivsete arvude a ja b ning suvaliste reaalarvude r ja s korral kehtivad järgmised astmete omadused:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a · b) r =a r · b r ;
• (a:b) r =a r:br;
• (a r) s =a r·s .

Pange tähele, et loomulike, täisarvude ja positiivsete eksponentide puhul ei pruugi arvude a ja b piirangud olla nii ranged. Näiteks naturaalarvude m ja n puhul kehtib võrdsus a m ·a n =a m+n mitte ainult positiivse a, vaid ka negatiivse a puhul ja a=0 korral.

Koolis on jõuväljendite teisendamisel põhirõhk oskusel valida sobiv omadus ja seda õigesti rakendada. Sel juhul on kraadide alused tavaliselt positiivsed, mis võimaldab kraadide omadusi piiranguteta kasutada. Sama kehtib ka astmete baasides muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamise kohta - muutujate lubatud väärtuste vahemik on tavaliselt selline, et alused võtavad sellelt ainult positiivseid väärtusi, mis võimaldab teil vabalt kasutada astmete omadusi . Üldiselt peate endalt pidevalt küsima, kas sel juhul on võimalik kasutada mõnda kraadi omadust, kuna omaduste ebatäpne kasutamine võib põhjustada haridusliku väärtuse vähenemist ja muid probleeme. Neid punkte käsitletakse üksikasjalikult ja näidetega artiklis Avaldiste teisendamine võimsuste omaduste abil. Siinkohal piirdume mõne lihtsa näitega.

Näide.

Väljendage avaldis a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 astmena, mille alus on a.

Lahendus.

Esiteks teisendame teise teguri (a 2) −3, kasutades omadust tõsta võimsus astmeks: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Algne võimsusavaldis on kujul 2,5 ·a −6:a −5,5. Ilmselgelt jääb üle kasutada sama alusega võimude korrutamise ja jagamise omadusi, mis meil on
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Vastus:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Võimuavaldiste teisendamisel kasutatakse võimsuste omadusi nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule.

Näide.

Leia võimsusavaldise väärtus.

Lahendus.

Võrdsus (a·b) r =a r ·b r, mida rakendatakse paremalt vasakule, võimaldab liikuda algväljendist vormi korrutisele ja edasi. Ja kui korrutada astmed samade alustega, liidetakse eksponendid: .

Algset väljendit oli võimalik muul viisil muuta:

Vastus:

.

Näide.

Arvestades võimsuse avaldist a 1,5 −a 0,5 −6, sisestage uus muutuja t=a 0,5.

Lahendus.

Astet a 1,5 saab esitada kui 0,5 3 ja seejärel, lähtudes astme omadusest astmele (a r) s =a r s, rakendades paremalt vasakule, teisendada see kujule (a 0,5) 3. Seega a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nüüd on lihtne sisestada uus muutuja t=a 0,5, saame t 3 −t−6.

Vastus:

t 3 −t−6 .

Astmeid sisaldavate murdude teisendamine

Jõuavaldised võivad sisaldada või esindada astmetega murde. Mis tahes põhilised murdude teisendused, mis on omased mis tahes tüüpi murdudele, on sellistele murdudele täielikult rakendatavad. See tähendab, et astmeid sisaldavaid murde saab taandada, taandada uue nimetajani, töötada eraldi nende lugejaga ja eraldi nimetajaga jne. Nende sõnade illustreerimiseks kaaluge mitme näite lahendusi.

Näide.

Lihtsustage võimsuse väljendust .

Lahendus.

See võimsuse avaldis on murdosa. Töötame selle lugeja ja nimetajaga. Lugejas avame sulud ja lihtsustame saadud avaldist astmete omaduste abil ning nimetajas esitame sarnased terminid:

Ja muudame ka nimetaja märki, asetades murdu ette miinuse: .

Vastus:

.

Astmeid sisaldavate murdude taandamine uuele nimetajale toimub sarnaselt ratsionaalsete murdude taandamisega uuele nimetajale. Sel juhul leitakse ka lisategur ning sellega korrutatakse murdu lugeja ja nimetaja. Selle toimingu tegemisel tasub meeles pidada, et taandamine uuele nimetajale võib viia VA kitsenemiseni. Selle vältimiseks on vajalik, et lisategur ei läheks nulliks algse avaldise ODZ-muutujate muutujate ühegi väärtuse puhul.

Näide.

Vähendage murrud uue nimetajani: a) nimetajaks a, b) nimetaja juurde.

Lahendus.

a) Sel juhul on üsna lihtne aru saada, milline lisakordaja aitab soovitud tulemust saavutada. See on kordaja 0,3, kuna 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Pange tähele, et muutuja a (see on kõigi positiivsete reaalarvude kogum) lubatud väärtuste vahemikus 0,3 aste ei kao, seetõttu on meil õigus antud lugeja ja nimetaja korrutada. murdosa selle lisateguri järgi:

b) Nimetajat lähemalt uurides leiate, et

ja selle avaldise korrutamine annab kuubikute summa ja See tähendab, . Ja see on uus nimetaja, milleni peame algset murdosa vähendama.

Nii leidsime lisateguri. Muutujate x ja y lubatud väärtuste vahemikus avaldis ei kao, seetõttu saame sellega korrutada murdosa lugeja ja nimetaja:

Vastus:

A) , b) .

Ka astmeid sisaldavate murdude redutseerimises pole midagi uut: lugeja ja nimetaja esitatakse mitmete teguritena ning lugeja ja nimetaja samu tegureid vähendatakse.

Näide.

Vähendage murdosa: a) , b) .

Lahendus.

a) Esiteks saab lugejat ja nimetajat vähendada arvude 30 ja 45 võrra, mis võrdub 15-ga. Ilmselgelt on võimalik ka vähendada x 0,5 +1 ja võrra . Siin on see, mis meil on:

b) Sel juhul ei ole lugejas ja nimetajas identsed tegurid kohe nähtavad. Nende saamiseks peate tegema esialgseid teisendusi. Sel juhul seisnevad need nimetaja faktoriseerimises ruutude erinevuse valemi abil:

Vastus:

A)

b) .

Murdude teisendamist uueks nimetajaks ja murdude vähendamist kasutatakse peamiselt murdarvudega asjade tegemiseks. Toiminguid tehakse teadaolevate reeglite järgi. Murdude liitmisel (lahutamisel) taandatakse need ühiseks nimetajaks, misjärel lugejad liidetakse (lahutatakse), kuid nimetaja jääb samaks. Tulemuseks on murd, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nimetajate korrutis. Murruga jagamine on selle pöördarvuga korrutamine.

Näide.

Järgige juhiseid .

Lahendus.

Esiteks lahutame sulgudes olevad murrud. Selleks viime need ühise nimetajani, mis on , mille järel lahutame lugejad:

Nüüd korrutame murrud:

Ilmselgelt on võimalik vähendada astme võrra x 1/2, misjärel meil on .

Samuti saate nimetaja võimsuse avaldist lihtsustada, kasutades ruutude erinevuse valemit: .

Vastus:

Näide.

Lihtsustada Power Expression .

Lahendus.

Ilmselgelt saab seda murdosa vähendada (x 2,7 +1) 2 võrra, see annab murdosa . On selge, et X-i jõududega tuleb veel midagi ette võtta. Selleks teisendame saadud fraktsiooni tooteks. See annab meile võimaluse kasutada ära võimude jagamise omadust samadel alustel: . Ja protsessi lõpus liigume viimaselt tootelt fraktsioonile.

Vastus:

.

Ja lisagem veel, et negatiivsete astendajatega tegureid on võimalik ja paljudel juhtudel ka soovitav üle kanda lugejast nimetajasse või nimetajast lugejasse, muutes astendaja märki. Sellised teisendused lihtsustavad sageli edasisi toiminguid. Näiteks võib võimsusavaldise asendada .

Avaldiste teisendamine juurte ja jõududega

Sageli esinevad avaldistes, milles on vaja mõningaid teisendusi, koos astmetega ka murdosaastendajatega juured. Sellise avaldise soovitud vormi muutmiseks piisab enamikul juhtudel ainult juurte või ainult jõudude juurde minemisest. Aga kuna võimudega on mugavam töötada, liiguvad nad tavaliselt juurtelt võimudele. Siiski on soovitatav selline üleminek läbi viia, kui algse avaldise muutujate ODZ võimaldab asendada juured võimsustega, ilma et oleks vaja viidata moodulile või jagada ODZ mitmeks intervalliks (me arutasime seda üksikasjalikult artikli üleminek juurtelt astmetele ja tagasi Peale ratsionaalse astendajaga astmega tutvumist tutvustatakse irratsionaalse astendajaga astet, mis võimaldab rääkida suvalise reaalastendajaga astmest.Selles etapis hakkab kool Uuring eksponentsiaalne funktsioon, mis on analüütiliselt antud astmega, mille aluseks on arv ja eksponendiks on muutuja. Seega seisame silmitsi astmeavaldistega, mis sisaldavad numbreid astme baasis ja astendajas - muutujatega avaldisi ning loomulikult tekib vajadus selliste avaldiste teisenduste tegemiseks.

Olgu öeldud, et antud tüüpi avaldiste teisendus tuleb enamasti sooritada lahendamisel eksponentsiaalvõrrandid Ja eksponentsiaalne ebavõrdsus, ja need teisendused on üsna lihtsad. Valdav enamus juhtudel põhinevad need kraadi omadustel ja on enamasti suunatud uue muutuja kasutuselevõtule tulevikus. Võrrand võimaldab meil neid näidata 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Esiteks asendatakse astmed, mille eksponentides on teatud muutuja (või muutujatega avaldise) ja arvu summa, korrutistega. See kehtib vasakul pool oleva avaldise esimese ja viimase termini kohta:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Järgmisena jagatakse võrdsuse mõlemad pooled avaldisega 7 2 x, mis algvõrrandi muutuja x ODZ-l võtab ainult positiivseid väärtusi (see on standardtehnika seda tüüpi võrrandite lahendamiseks, me ei ole räägime sellest praegu, nii et keskenduge järgmistele võimsustega väljendite teisendustele):

Nüüd saame astmetega murde tühistada, mis annab .

Lõpuks asendatakse samade astendajatega astmete suhe suhete astmetega, mille tulemuseks on võrrand , mis on samaväärne . Tehtud teisendused võimaldavad kasutusele võtta uue muutuja, mis taandab algse eksponentsiaalvõrrandi lahendi ruutvõrrandi lahendiks

Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,

null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole tähendust.

Tehted kraadidega.

1. Sama baasiga astmete korrutamisel nende eksponendid liidetakse:

olen · a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega nende eksponendid arvatakse maha .

3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Suhtarvu (murru) aste võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:

(a/b ) n = a n / b n .

5. Kui tõstetakse aste astmeks, korrutatakse nende eksponendid:

(olen ) n = a m n.

Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.

NÄIDE (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operatsioonid juurtega. Kõigis allolevates valemites sümbol tähendab aritmeetiline juur(radikaalne avaldis on positiivne).

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne korrutisega Nende tegurite juured:

2. Suhtarvu juur on võrdne dividendi juurte ja jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni radikaalarv:

4. Kui suurendame juure astet m tõsta kuni m th aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet m eemaldage juur üks kord ja samal ajal m th radikaalarvu astme, siis juure väärtus ei ole muutub:

Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade vaadelnud ainult naturaalastendajatega; aga toimingud koos kraadid ja juured võivad samuti kaasa tuua negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.

Negatiivse astendajaga kraad. Mõne arvu võimsus c negatiivne (täisarv) astendaja on defineeritud kui üks jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtuseganegatiivne näitaja:

T nüüd valem olen: a n= olen - n saab kasutada mitte ainultm, rohkem kui n, aga ka koos m, vähem kui n .

NÄIDE a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Kui tahame valemitolen : a n= olen - noli õiglane, kuim = n, vajame nullkraadi määratlust.

Kraad nullindeksiga. Iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, on 1.

NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu ja võimsusele m/n , peate juure ekstraheerima m n-s aste -selle arvu aste A:

Väljenditest, millel pole tähendust. Selliseid väljendeid on mitu. suvaline number.

Tegelikult, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 · x. Kuid see võrdsus tekib siis, kui mis tahes arv x, mida oli vaja tõestada.

Juhtum 3.

0 0 - suvaline number.

Tõesti,

Lahendus. Vaatleme kolme peamist juhtumit:

1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit

(Miks?).

2) millal x> 0 saame: x/x = 1, st. 1 = 1, mis tähendab

Mida x– mis tahes number; kuid võttes arvesse seda

Meie puhul x> 0, vastus onx > 0 ;

3) millal x < 0 получаем: – x/x= 1, st e . –1 = 1, seega

Sel juhul pole lahendust.

Seega x > 0.

Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?

Algebras leiate võimsuste korrutise kahel juhul:

1) kui kraadidel on samad alused;

2) kui kraadidel on samad näitajad.

Kui korrutada astmeid samade alustega, tuleb baas jätta samaks ja lisada eksponendid:

Kraadide korrutamisel samade näitajatega saab üldnäitaja sulgudest välja võtta:

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas võimsusi korrutada.

Üksust ei kirjutata eksponendisse, kuid astmete korrutamisel võtavad nad arvesse:

Korrutamisel võib olla suvaline arv astmeid. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei pea kirjutama korrutusmärki:

Avaldistes tehakse kõigepealt astendamine.

Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peaksite esmalt tegema astenduse ja alles seejärel korrutama:

www.algebraclass.ru

Astmete liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine

Astmete liitmine ja lahutamine

On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 — 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimude korrutamine

Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Viimase näite tulemuse saab järjestada identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamistulemuse aste, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summaga.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

Kui a n , võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;

Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.

Kui korrutate kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.

5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.

Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähenda eksponente $\frac $ võrra. Vastus: $\frac $.

2. Vähendage eksponente $\frac$ võrra. Vastus: $\frac$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

Kraadi omadused

Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadide omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete astendajatega astmeid ja nende omadusi käsitletakse 8. klassi tundides.

Naturaalse astendajaga astmel on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astmetega näidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ja liidetakse astmete eksponendid.

a m · a n = a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

See astmete omadus kehtib ka kolme või enama astme korrutisele.

Pange tähele, et nimetatud atribuudis rääkisime ainult volituste korrutamisest samade alustega. See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Osalised kraadid

Jagades astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ning jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

Arvutama.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame jagatisastmete omadust.
3 8: t = 3 4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Näide. Leidke avaldise väärtus, kasutades eksponentide omadusi.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pange tähele, et 2. vara puhul rääkisime ainult volituste jagamisest samadel alustel.

Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kinnistu nr 3
Kraadi tõstmine võimuni

Kraadi tõstmisel astmeni jääb astme alus muutumatuks ja astendajad korrutatakse.

(a n) m = a n · m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

Pange tähele, et omadust nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse ka vastupidises järjekorras.

(a n · b n)= (a · b) n

See tähendab, et astmete korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused, kuid jätta eksponendi muutmata.

Keerulisemate näidete puhul võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmete üle. Sel juhul soovitame teil teha järgmist.

Näiteks 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Näide kümnendkoha astmeni tõstmisest.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Omadused 5
Jagatise võimsus (murd)

Jagatise tõstmiseks astmeni saate dividendi ja jagaja eraldi tõsta selle astmeni ning jagada esimese tulemuse teisega.

(a: b) n = a n: b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud, b ≠ 0, n - mis tahes naturaalarv.

Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

Jõud ja juured

Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,

null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole tähendust.

Tehted kraadidega.

1. Kui korrutada astmed sama alusega, liidetakse nende eksponendid:

olen · a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega nende eksponendid arvatakse maha .

3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.

4. Suhtarvu (murru) aste võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:

(a/b) n = a n / b n .

5. Kui tõstetakse aste astmeks, korrutatakse nende eksponendid:

Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.

NÄIDE (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operatsioonid juurtega. Kõigis alltoodud valemites tähendab sümbol aritmeetiline juur(radikaalne avaldis on positiivne).

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja jagaja juurte suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni radikaalarv:

4. Kui tõsta juure astet m korda ja tõsta samal ajal radikaalarvu m-nda astmeni, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure astet m korda ja eraldate samaaegselt radikaalarvu m-nda juure, siis juure väärtus ei muutu:

Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade vaadelnud ainult naturaalastendajatega; kuid operatsioonid võimude ja juurtega võivad viia ka selleni negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.

Negatiivse astendajaga kraad. Teatud negatiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne negatiivse astendaja absoluutväärtusega:

Nüüd valem olen : a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m, rohkem kui n, aga ka koos m, vähem kui n .

NÄIDE a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Kui tahame valemit olen : a n = olen — n oli õiglane, kui m = n, vajame nullkraadi määratlust.

Kraad nullindeksiga. Iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, on 1.

NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Reaalarvu a tõstmiseks astmeni m / n peate eraldama selle arvu a m-nda astme n-nda juure:

Väljenditest, millel pole tähendust. Selliseid väljendeid on mitu.

Kus a ≠ 0 , ei eksisteeri.

Tegelikult, kui me eeldame, et x on teatud arv, siis on meil vastavalt jagamistehte määratlusele: a = 0· x, st. a= 0, mis on vastuolus tingimusega: a ≠ 0

— suvaline number.

Tegelikult, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 · x. Kuid see võrdsus tekib siis, kui mis tahes arv x, mida oli vaja tõestada.

0 0 — suvaline number.

Lahendus. Vaatleme kolme peamist juhtumit:

1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit

2) millal x> 0 saame: x/x= 1, st. 1 = 1, mis tähendab

Mida x– mis tahes number; kuid võttes arvesse seda

meie puhul x> 0, vastus on x > 0 ;

Erinevate alustega astmete korrutamise reeglid

KRAD RATSIOONI INDIKAATORIGA,

TOITEFUNKTSIOON IV

§ 69. Võimude korrutamine ja jagamine samadel alustel

1. teoreem. Et astmeid samade alustega korrutada, piisab eksponendid liitmisest ja aluse jätmisest samaks, st

Tõestus. Kraadi määratluse järgi

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vaatasime kahe võimsuse korrutist. Tegelikult kehtib tõestatud omadus mis tahes arvu samade alustega võimsuste puhul.

2. teoreem. Punktide jagamiseks samade alustega, kui dividendi indeks on suurem kui jagaja indeks, piisab, kui lahutada dividendi indeksist jagaja indeks ja jätta alus samaks, st. juures t > lk

(a =/= 0)

Tõestus. Tuletame meelde, et ühe arvu teisega jagamise jagatis on arv, mis jagajaga korrutamisel annab dividendi. Seetõttu tõestage valem kus a =/= 0, see on sama, mis valemi tõestamine

Kui t > lk , siis number t - lk on loomulik; seega teoreemi 1 järgi

2. teoreem on tõestatud.

Tuleb märkida, et valem

oleme seda tõestanud ainult eeldusel, et t > lk . Seetõttu ei ole tõestatu põhjal veel võimalik teha näiteks järgmisi järeldusi:

Lisaks ei ole me veel arvestanud negatiivsete astendajatega kraadisid ja me ei tea veel, millist tähendust saab avaldisele 3 anda - 2 .

3. teoreem. Kraadi tõstmiseks astmeni piisab eksponentide korrutamisest, jättes astme aluse samaks, see on

Tõestus. Kasutades kraadi määratlust ja selle jaotise teoreemi 1, saame:

Q.E.D.

Näiteks (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Suuline) Määrake X võrranditest:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Komplekti nr) Lihtsusta:

520. (Komplekti nr) Lihtsusta:

521. Esitage need avaldised samade alustega kraadidena:

1) 32 ja 64; 3) 8 5 ja 16 3; 5) 4 100 ja 32 50;

2) -1000 ja 100; 4) -27 ja -243; 6) 81 75 8 200 ja 3 600 4 150.

Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvude astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse.

Leheküljel navigeerimine.

Kraadide omadused naturaalastendajatega

Naturaalse astendajaga astme definitsiooni järgi on aste a n n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Sellest määratlusest lähtudes ja ka kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:

1. astme a m ·a n =a m+n põhiomadus, selle üldistus;
2. identsete alustega jagatisastmete omadus a m:a n =a m−n ;
3. korrutise võimsuse omadus (a·b) n =a n ·b n, selle laiend;
4. jagatise omadus naturaalastmele (a:b) n =a n:b n ;
5. astme tõstmine astmeni (a m) n =a m·n, selle üldistus (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
6. kraadi võrdlus nulliga:
   • kui a>0, siis a n>0 mis tahes naturaalarvu n korral;
   • kui a=0, siis a n=0;
   • kui a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kui a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. kui a ja b on positiivsed arvud ja a
8. kui m ja n on naturaalarvud nii, et m>n , siis 0 juures 0 võrratus a m >a n on tõene.

Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel saab vahetada nii nende paremat kui ka vasakut osa. Näiteks murdu a m ·a n =a m+n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n =a m ·a n .

Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.

Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.

Tõestame kraadi peamist omadust. Loomuliku astendajaga astme definitsiooni järgi saab korrutiseks kirjutada vormi a m ·a n samade alustega astmete korrutise. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul , ja see korrutis on arvu a aste naturaalastendajaga m+n, st a m+n. See lõpetab tõestuse.

Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning naturaalastmetega 2 ja 3, kasutades kraadide põhiomadust, saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Kontrollime selle kehtivust, arvutades välja avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamine on meil tehtud 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 ja 2 5 =2·2·2·2·2=32, kuna saadakse võrdsed väärtused, siis on võrdus 2 2 ·2 3 =2 5 õige ja see kinnitab astme põhiomadust.

Kraadi põhiomaduse saab korrutamise omaduste põhjal üldistada kolme või enama astme korrutiseks samade aluste ja naturaalastendajatega. Seega on naturaalarvude n 1, n 2, …, n k mis tahes arvu k korral tõene järgmine võrdsus: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Näiteks, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Saame liikuda loomuliku astendajaga astmete järgmise omaduse juurde – samade alustega jagatisastmete omadus: iga nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.

Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme sõnastuses sisalduvate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, eksponent m>n korral on a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub m-n korral) või negatiivne arv (mis juhtub m-ga

Tõestus. Murru põhiomadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Saadud võrrandist a m−n ·a n =a m ja järeldub, et a m−n on astmete a m ja a n jagatis. See tõestab identsete alustega jagatisastmete omadust.

Toome näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldavale omadusele vastab võrdus π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.

Nüüd kaalume toote võimsuse omadus: kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik võimsus n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a·b) n =a n ·b n .

Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on meil olemas . Korrutamise omaduste põhjal saab viimase korrutise ümber kirjutada kui , mis on võrdne a n · b n .

Siin on näide: .

See omadus laieneb kolme või enama teguri korrutisele. See tähendab, et k teguri korrutise loomuliku astme n omadus on kirjutatud kujul (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis 7 astmega on meil .

Järgmine omadus on mitterahalise jagatise omadus: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, st (a:b) n =a n:b n.

Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Niisiis (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ja võrratusest (a:b) n ·b n =a n järeldub, et (a:b) n on a n jagatis b n-ga.

Kirjutame selle omaduse, kasutades näitena konkreetseid numbreid: .

Nüüd ütleme selle välja omadus tõsta võimu võimuks: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme astmega n arvu a astmega, mille aste on m·n, st (a m) n =a m·n.

Näiteks (5 2) 3 = 5 2 · 3 =5 6.

Võimsusastmeni omaduse tõestuseks on järgmine võrdsuste ahel: .

Vaadeldavat omadust saab astme kaupa laiendada jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus . Suurema selguse huvides on siin näide konkreetsete numbritega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.

Alustuseks tõestame nulli ja astme võrdlemise omadust naturaalastendajaga.

Esiteks tõestame, et a n > 0 iga a>0 korral.

Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja arvu a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse baasi a korral on aste a n positiivne arv. Tõestatud omaduse tõttu 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ja .

On üsna ilmne, et iga naturaalarvu n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0.

Liigume edasi negatiivsete kraadialuste juurde.

Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv. Siis . Iga vormi a·a korrutis on võrdne arvude a ja a moodulite korrutisega, mis tähendab, et see on positiivne arv. Seetõttu on toode ka positiivne ja aste a 2·m. Toome näiteid: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .

Lõpuks, kui alus a on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis . Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Tänu sellele omadusele (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Liigume edasi samade naturaalastendajatega astmete võrdlemise omadusele, millel on järgmine sõnastus: kahest samade naturaalastendajatega astmest n on väiksem kui see, mille alus on väiksem, ja suurem on see, mille alus on suurem. . Tõestame seda.

Ebavõrdsus a n ebavõrdsuse omadused tõene on ka vormi a n tõestatav ebavõrdsus (2.2) 7 ja .

Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega. Sõnastame selle. Kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed positiivsed alused on väiksemad kui üks, on suurem see, mille astendaja on väiksem; ja kahest astmest, mille naturaalaste ja identsed alused on suuremad kui üks, on suurem see, mille astendaja on suurem. Jätkame selle omaduse tõestamisega.

Tõestame, et m>n ja 0 korral 0 algtingimuse m>n tõttu, mis tähendab, et 0 juures

Tõendada jääb vara teine ​​osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on aste a n positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 on tingitud algtingimusest ja a>1 korral on aste a m−n on suurem kui üks . Järelikult a m −a n >0 ja a m >a n , mida oli vaja tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 > 3 2.

Täisarvuliste astendajatega astmete omadused

Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, kattuvad kõik positiivsete täisarvude astendajatega astmete omadused täpselt eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.

Defineerisime nii täisarvulise negatiivse astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme nii, et kõik naturaalsete astendajatega astmete omadused, väljendatuna võrdustega, jäid kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui loomulikult on astmete alused nullist erinevad.

Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised: Täisarvuliste astendajatega astmete omadused:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a · b) n =a n · b n;
4. (a:b) n =a n:bn;
5. (a m) n =a m·n;
6. kui n on positiivne täisarv, on a ja b positiivsed arvud ning a b-n;
7. kui m ja n on täisarvud ja m>n , siis 0 juures 1 võrratus a m >a n kehtib.

Kui a=0, on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad just kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.

Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada kraadide määratlusi naturaal- ja täisarvude eksponenditega, aga ka reaalarvudega tehte omadusi. Näitena tõestame, et võimsus-võimsuse omadus kehtib nii positiivsete täisarvude kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks on vaja näidata, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ja (a −p) −q =a (−p)·(−q). Teeme seda.

Positiivsete p ja q korral tõestati võrdus (a p) q =a p·q eelmises lõigus. Kui p=0, siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0·q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0·q. Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p·0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p·0. Kui nii p=0 kui q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0·0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0,0.

Nüüd tõestame, et (a −p) q =a (−p)·q . Negatiivse täisarvu astendajaga astme definitsiooni järgi siis . Meil olevate astmete jagandite omaduse järgi . Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane avaldis on definitsiooni järgi kujul a −(p·q), mille saab korrutamisreeglite tõttu kirjutada kujul (−p)·q.

Samamoodi .

JA .

Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.

Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille puhul tingimus a on täidetud. . Kuna tingimusel a 0 . Korrutis a n · b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutis. Siis on saadud murru positiivne positiivsete arvude b n −a n ja a n ·b n jagatis. Seega, kust a −n >b −n , mida oli vaja tõestada.

Täisarvuliste astendajatega astmete viimane omadus on tõestatud samamoodi nagu loomulike astendajatega astmete sarnane omadus.

Ratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Defineerisime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdeksponentidega astmetel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega astmetel. Nimelt:

Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb astme definitsioonil murdeksponentiga ja astme omadustel täisarvulise astendajaga. Andkem tõendid.

Määratluse järgi võimsus murdosa astendaja ja , siis . Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Edasi, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , millest murdosalise astendajaga astme definitsiooni järgi saame , ja saadud kraadi indikaatorit saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.

Teine murdosaastendajatega astmete omadus on tõestatud absoluutselt sarnasel viisil:

Ülejäänud võrdsused tõestatakse sarnaste põhimõtete abil:

Liigume edasi järgmise vara tõestamise juurde. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a b p . Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused lk<0 и p>0 antud juhul tingimused m<0 и m>0 vastavalt. m>0 ja a puhul

Samamoodi m<0 имеем a m >b m , kust, see tähendab, ja a p >b p .

Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q on 0 0 – ebavõrdsus a p >a q . Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, isegi kui saame tavalised murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb sellest. Seejärel võrreldakse astmeid samade aluste ja naturaalastendajatega 0 juures 1 – võrratus a m 1 >a m 2 . Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui Ja . Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0 jaoks 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Irratsionaalsete astendajatega astmete omadused

Sellest, kuidas irratsionaalse astendajaga aste on määratletud, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised irratsionaalsete astendajatega astmete omadused:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q =a p·q;
6. mis tahes positiivsete arvude a ja b korral a 0 ebavõrdsus a p b p ;
7. irratsionaalarvude p ja q puhul p>q 0 juures 0 – ebavõrdsus a p >a q .

Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika õpik 5. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).