Las matemáticas y nosotros. Fórmulas básicas de la teoría de la probabilidad

USO 2016. Matemáticas. Teoría de probabilidad. Libro de trabajo.

M.: 2016. - 64 págs.

El libro de trabajo en matemáticas de la serie "USE 2016. Matemáticas" está enfocado en preparar a los estudiantes de secundaria para aprobar con éxito el examen estatal unificado de matemáticas en 2016 en los niveles básico y de perfil. El libro de trabajo presenta tareas para una posición de los materiales de medición de control del USE-2016. En varias etapas de aprendizaje, el manual ayudará a proporcionar un enfoque de nivel para la organización de la repetición, para controlar y autocontrolar el conocimiento sobre el tema "Teoría de la probabilidad". El libro de trabajo está enfocado en un año académico, sin embargo, si es necesario, llenará rápidamente los vacíos en el conocimiento del graduado. El cuaderno está destinado a estudiantes de secundaria, profesores de matemáticas, padres.

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CONTENIDO
Del editor de la Serie 3
Introducción 4
Trabajo de diagnóstico 1 6
Soluciones de problemas de trabajo de diagnóstico 1 10
Trabajo de entrenamiento 1 (a la tarea D1.1) 22
Trabajo de formación 2 (a las tareas D1.2, D.1.4) 24
Trabajo de formación 3 (a las tareas D1.3, D1.5) 26
Trabajo de formación 4 (a las tareas D1.1-D1.5) 28
Trabajo de formación 5 (a las tareas D1.6-D1.9) 30
Trabajo de formación 6 (a las tareas D1.6-D1.9) 32
Trabajo de formación 7 (a las tareas D1.6-D1.9) 34
Trabajo de formación 8 (a las tareas D1.10-D1.14) 36
Trabajo de formación 9 (a las tareas D1.10-D1.14) 39
Trabajo de formación 10 (a las tareas D1.10-D1.14) 41
Trabajo de formación 11 (a las tareas D1.15-D.18) 43
Trabajo de formación 12 (a las tareas D1.15-D.18) 45
Trabajo de diagnóstico 2 47
Trabajo de diagnóstico 3 51
Trabajo de diagnóstico 4 54
Materiales de referencia 57
Respuestas 58

Este manual está destinado a preparar la tarea sobre la teoría de la probabilidad del examen estatal unificado (tarea 4 del nivel de perfil y tarea 10 nivel básico en la versión 2016).
El manual consta del trabajo de diagnóstico D1 con análisis de soluciones, diez trabajos de capacitación y tres trabajos de diagnóstico adicionales D2-D4, destinados al control intermedio. Al final de la colección se dan respuestas a todos los problemas.
Debido al hecho de que las tareas de la primera parte del USE en matemáticas se forman utilizando un banco abierto, las tareas de probabilidad tampoco serán una sorpresa para los participantes del examen.
La teoría de la probabilidad es una de las ramas aplicadas más importantes de las matemáticas. Muchos fenómenos del mundo que nos rodea pueden describirse solo con la ayuda de la teoría de la probabilidad. Se enseña en las escuelas de muchos países, y en Rusia volvió a la escuela en el estándar de 2004 y hasta ahora sigue siendo una nueva sección.
Los estudiantes y profesores todavía experimentan ciertas dificultades en el estudio de la teoría de la probabilidad y la estadística debido a la falta de tradiciones de enseñanza profundas y la escasez de materiales didácticos. Por lo tanto, en 2016, el USE incluirá solo los problemas más simples de la teoría de la probabilidad.

En la fábrica de baldosas cerámicas, el 5% de las baldosas producidas son defectuosas. Durante el control de calidad del producto, solo se encuentra el 40% de las baldosas defectuosas. Las tejas restantes se envían a la venta. Encuentre la probabilidad de que una baldosa elegida al azar durante la compra no tenga defectos. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

Solución

Durante el control de calidad del producto se detecta el 40% de las tejas defectuosas, que suponen el 5% de las tejas producidas, y no se ponen a la venta. Esto significa que 0,4 5% = 2% de las tejas producidas no sale a la venta. El resto de tejas producidas - 100% - 2% = 98% sale a la venta.

Libre de defectos 100% - 95% de las tejas producidas. La probabilidad de que la loseta comprada no tenga ningún defecto es 95% : 98% = \frac(95)(98)\aprox. 0,97

Respuesta

Condición

La probabilidad de que la batería no esté cargada es de 0,15. El cliente en la tienda compra un paquete al azar que contiene dos de estas baterías. Encuentre la probabilidad de que ambas baterías en este paquete estén cargadas.

Solución

La probabilidad de que la batería esté cargada es 1-0,15 = 0,85. Encontremos la probabilidad del evento "ambas baterías están cargadas". Denote por A y B los eventos "el primer acumulador está cargado" y "el segundo acumulador está cargado". Obtuvimos P(A) = P(B) = 0,85. El evento "ambas baterías están cargadas" es la intersección de los eventos A \ cap B, su probabilidad es igual a P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La probabilidad de que una lavadora nueva sea reparada dentro de un año es 0.065. En cierta ciudad se vendieron 1200 lavadoras durante el año, de las cuales 72 piezas fueron trasladadas al taller de garantía. Determine qué tan diferente es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento de "reparación en garantía" de su probabilidad en esta ciudad.

Solución

La frecuencia del evento "la lavadora entrará en reparación de garantía dentro de un año" es igual a \frac(72)(1200) = 0,06. Difiere de la probabilidad por 0.065-0.06=0.005.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La probabilidad de que la pluma esté defectuosa es 0.05. El cliente en la tienda compra un paquete al azar que contiene dos bolígrafos. Calcula la probabilidad de que los dos bolígrafos de este paquete sean buenos.

Solución

La probabilidad de que el bolígrafo esté en buenas condiciones es 1-0.05 = 0.95. Encontremos la probabilidad del evento "ambos identificadores funcionan". Denote con A y B los eventos "el primer identificador está funcionando" y "el segundo identificador está funcionando". Obtuvimos P(A) = P(B) = 0,95. El evento "ambos mangos son buenos" es la intersección de los eventos A \ cap B, su probabilidad es igual a P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.95\cdot 0.95 = 0,9025.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

La imagen muestra un laberinto. El escarabajo se arrastra hacia el laberinto en el punto de "Entrada". El escarabajo no puede dar la vuelta y arrastrarse en la dirección opuesta, por lo que en cada bifurcación elige uno de los caminos en los que aún no ha estado. ¿Cuál es la probabilidad de que el escarabajo llegue a la salida D si la elección otro camino es aleatorio

Solución

Coloquemos flechas en la encrucijada en las direcciones en las que el escarabajo puede moverse (ver Fig.).

Elijamos en cada una de las intersecciones una dirección entre dos posibles, y supondremos que cuando llegue a la intersección, el escarabajo se moverá en la dirección que hemos elegido.

Para que el escarabajo alcance la salida D, se debe elegir la dirección indicada por la línea roja continua en cada intersección. En total, la elección de la dirección se realiza 4 veces, cada vez independientemente de la elección anterior. La probabilidad de que se seleccione una flecha roja continua cada vez es \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condición

Hay 16 atletas en la sección, entre ellos dos amigos: Olya y Masha. Los atletas se asignan aleatoriamente a 4 grupos iguales. Encuentra la probabilidad de que Olya y Masha estén en el mismo grupo.

evento al azar Cualquier evento que puede o no ocurrir como resultado de alguna experiencia.

Probabilidad de eventos R es igual a la razón del número de resultados favorables k entre todos los resultados posibles. norte, es decir.

p=\frac(k)(n)

Fórmulas para la suma y la multiplicación de la teoría de la probabilidad

\bar(A) evento llamado opuesto al evento A, si el evento A no ocurriera.

Suma de probabilidades eventos opuestos es igual a uno, es decir,

P(\bar(A)) + P(A) =1

• La probabilidad de un evento no puede ser mayor a 1.
• Si la probabilidad de un evento es 0, entonces no sucederá.
• Si la probabilidad de un evento es 1, entonces sucederá.

Teorema de la suma de probabilidades:

"La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos".

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilidad montos dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin tener en cuenta su ocurrencia conjunta:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema de la multiplicación de probabilidades

"La probabilidad del producto de dos sucesos es igual al producto de las probabilidades de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculada bajo la condición de que el primero haya tenido lugar".

P(AB)=P(A)*P(B)

Eventos llamado incompatible, si la aparición de uno de ellos excluye la aparición de los demás. Es decir, solo puede ocurrir un evento en particular, u otro.

Eventos llamado articulación, a menos que la ocurrencia de uno de ellos impida la ocurrencia del otro.

Dos eventos aleatorios A y B se llaman independiente, si la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. De lo contrario, los eventos A y B se llaman dependientes.